Mikä on yhtälö linjasta, joka koskettaa f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x x = sqrtpi?

Vastaus:

Yhtälö on noin:

#y = 3.34x - 0.27 #

Selitys:

Aluksi on määriteltävä #f '(x) #, niin että tiedämme, mikä #F (x) # on missä tahansa kohdassa # X #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

käyttämällä tuotesääntöä:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Nämä ovat standardijohdannaisia:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Näin johdannaisemme tulee:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Annetaan annettu # X # arvo, rinne #sqrt (pii) # on:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Tämä on linjan kaltevuus kohdassa # x = sqrt (pi) #. Sitten voimme määrittää y-leikkauksen asettamalla:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Tämä antaa meille ei-yksinkertaistetun yhtälön rivillemme:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Ratkaisu b: lle päättyy harmillisesti monimutkaiseen kaavaan:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Niinpä meidän linjamme on:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Jos laskemme, mitä nämä ärsyttävän suuret kertoimet vastaavat, päädymme likimääräiseen riviin:

#y = 3.34x - 0.27 #