Mikä on raja t: n lähestyessä 0: ta (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Määritämme tämän käyttämällä L'hospitalin sääntöä.

Parafraseen L'Hospitalin sääntö sanoo, että kun annetaan lomakkeen raja #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, missä #fa)# ja #G (a) # ovat arvoja, jotka aiheuttavat raja-arvon määrittelemättömäksi (useimmiten, jos molemmat ovat 0 tai jonkinlainen), niin kauan kuin molemmat toiminnot ovat jatkuvia ja eriytettävissä # A # voidaan sanoa

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Tai sanoilla kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten osamäärän raja.

Esitetyssä esimerkissä meillä on #f (t) = tan (6t) # ja #G (t) = sin (2t) #. Nämä toiminnot ovat jatkuvia ja erottuvia lähellä # t = 0, tan (0) = 0 ja sin (0) = 0 #. Näin ollen meidän alkuperäinen #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Siksi meidän pitäisi hyödyntää L'Hospitalin sääntöä. # d / dt tan (6t) = 6 s ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Täten…

#lim_ (-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (-> 0) (6 sek ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sek ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Vastaus:

Reqd. Lim.#=3#.

Selitys:

Me löydämme tämän Raja käyttämällä seuraavia Tulokset:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Huomaa, että #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Tässä, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Samalla lailla, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Siksi Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.