Vastaus:
Lopullinen integraali on # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Selitys:
On aina olemassa useita tapoja lähestyä integraatio-ongelmia, mutta näin olen ratkaissut tämän:
Tiedämme, että ympyrän yhtälö on:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Tämä tarkoittaa sitä, että jokaiselle # X # arvo, jonka voimme määrittää # Y # x-akselin tämän pisteen ylä- ja alapuolella olevat arvot käyttäen
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Jos kuvitellaan, että linja, joka on piirretty ympyrän yläosasta pohjaan vakiona # X # arvo milloin tahansa, sen pituus on kaksi kertaa # Y # edellä esitetyn yhtälön antama arvo.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Koska olemme kiinnostuneita linjan välisestä alueesta #x = 3 # ja ympyrän loppu kohdassa #x = 5 #, nämä ovat meidän kiinteitä rajoja. Siitä lähtien lopullisen integraalin kirjoittaminen on yksinkertaista:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Vastaus:
Vaihtoehtoisesti polaarisena
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} p psi - 12 #
Selitys:
voit tehdä sen myös polaarisena
ympyrä polaarisena on r = 5 ja käyttää alueen yksinkertaisinta muotoilua #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) psi # tulee symmetriaa x-akselin ympäri
#A = 2 kertaa (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 psi - väri {punainen} {1/2 * 3 * 4}) #
jossa punainen bitti on piirretty punaisella värillä
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} p psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
