Miten int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx integroidaan osittain?

Vastaus:

# 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Selitys:

Kirjoitamme näin ensin:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Lisäksi saamme:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

käyttämällä # X = -2 # antaa meille:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Käytä sitten # X = -1 # antaa meille:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Käytä nyt # X = 0 # (mitä tahansa arvoa, jota ei ole käytetty, voidaan käyttää):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2DX #

Jätin tämän ulos, jotta voimme työskennellä sen kanssa erikseen.

Meillä on # - (x + 1) ^ - 2 #. Tiedämme, että ketjun säännön käyttö antaa meille # D / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Meillä on vain # - (x + 1) ^ - 2 #, niin #F (x) # täytyy olla # (X + 1) ^ - 1 #

# D / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Miten int sec ^ -1x integroidaan osien menetelmällä?

Vastaus on = x "kaari" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Tarvitsemme (sek ^ -1x) '= ("kaari" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integrointi osiin on intu'v = uv-intuv 'Tässä on u' = 1, =>, u = xv = "kaari "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Siksi int" kaari "secxdx = x" kaari "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Suorita toinen integraali korvaamalla Anna x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sek ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu (s

Miten intx ^ x sinx cosx dx integroidaan?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Ensin voimme käyttää identiteettiä: 2sinthetacostheta = sin2x, joka antaa: int ^ xsinxcosx x = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nyt voimme käyttää integrointia osittain. Kaava on: intf (x) g '(x) x = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) xx annan f (x) = sin ( 2x) ja g '(x) = e ^ x / 2. Kaavaa käytettäessä saamme: int e ^ x / 2sin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nyt voimme soveltaa osien integrointia jälleen kerran , tällä kertaa f (x) = cos (2x) ja g '(x) = e ^ x: int ^ x / 2

Integrointi osittain?

-2x ^ 2cos (3x) + (4xsin (3x)) / 3+ (4cos (3x)) / 9 + C Ensin kerrotaan 6, jotta jätämme meidät intx ^ 2sin (3x) dx integrointi osien mukaan: intvu ' = uv-intuv 'u' = sin (3x), u = -cos (3x) / 3 v = x ^ 2, v '= 2 x 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2 / 3xxcos ( 3x) dx) u '= cos (3x), u = sin (3x) / 3 v = x, v' = 1 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2/3 ((xsin (3x) )) / 3-intsiini (3x) / 3dx)) 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2/3 ((xsin (3x)) / 3 + cos (3x) / 9)) -2x ^ 2cos (3x) + (4xsin (3x)) / 3 + (4cos (3x)) / 9 + C