Fox kysyi, että hänen luokkansa on 2,2 rationaalisen tai irrationaalisen 4,2 ja neliöjuuren summa? Patrick vastasi, että summa olisi irrationaalinen. Ilmoita, onko Patrick oikea tai virheellinen. Perustelkaa päättelyäsi.

Vastaus:

Summa # 4.2 + sqrt2 # on järjetön; se perii #sqrt 2 #.

Selitys:

irrationaalinen numero on luku, jota ei voi ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena. Jos numero on irrationaalinen, sen desimaalilaajennus jatkuu ikuisesti ilman kuviota, ja päinvastoin.

Tiedämme jo sen #sqrt 2 # on järjetöntä. Sen desimaalilaajennus alkaa:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Numero #4.2# on järkevä; se voidaan ilmaista #42/10.# Kun lisätään 4.2 desimaalilaajennukseen #sqrt 2 #, saamme:

#sqrt 2 + 4.2 = väri (valkoinen) + 1.414213562373095 … #

#color (valkoinen) (sqrt 2) väri (valkoinen) + väri (valkoinen) (4.2 =) + 4.2 #

#color (valkoinen) (sqrt 2) väri (valkoinen) + väri (valkoinen) (4,2 =) baari (väri (valkoinen) (+) 5.614213562373095 …) #

On helposti nähtävissä, että tämä summa ei myöskään pääty eikä toistuva kuvio, joten se on myös järjetöntä.

Yleisesti ottaen järkevä määrä ja irrationaalinen määrä on aina irrationaalinen; väite on samanlainen kuin edellä.

Vastaus:

#COLOR (sininen) ("oikea") #

Selitys:

Jos aloitamme sanomalla summa on järkevä: Kaikki rationaaliset numerot voidaan kirjoittaa kahden kokonaisluvun osamääräksi # A / bcolor (valkoinen) (88) # #B! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Kahden kokonaisluvun tuote on kokonaisluku:

Kahden kokonaisluvun ero on kokonaisluku:

Niin:

# 5a-21b # on kokonaisluku.

# 5b # on kokonaisluku.

Siten:

# (5a-21b) / (5b) # on järkevä.

Mutta me tiedämme sen #sqrt (2) # on järjetöntä, joten tämä on ristiriita oletuksestamme, että summa oli järkevä, joten irrationaalisen määrän ja järkevän määrän summa on aina irrationaalinen.