Miten kirjoitat polynomin, jolla on vähimmäisasteen funktio vakiomuodossa, todellisilla kertoimilla, joiden nollat sisältävät -3,4 ja 2-i?

Vastaus:

#P (X) = vesipitoinen (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # kanssa #aq RR: ssä.

Selitys:

Päästää # P # olla polynomi, josta puhut. Oletan #P! = 0 # tai se olisi triviaalia.

P: llä on todellisia kertoimia #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Se tarkoittaa, että P: lle on toinen juuret, #bar (2-i) = 2 + i #, näin ollen tämä lomake # P #:

# P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a2) * (X-2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * K (X) # kanssa #a_j NN #, #Q RR: ssä X # ja #a RR: ssä koska me haluamme # P # todellisia kertoimia.

Haluamme astetta # P # olla mahdollisimman pieniä. Jos #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # sitten #deg (P) = deg (R) + aste (Q) = summa (a_j + 1) + aste (Q) #. #Q! = 0 # niin #deg (Q)> = 0 #. Jos haluamme # P # silloin on mahdollisimman pieni aste #deg (Q) = 0 # (# Q # on vain todellinen numero # Q #) #deg (P) = deg (R) # ja täällä voimme jopa sanoa sen #P = R #. #deg (P) # tulee olemaan mahdollisimman pieni, jos jokainen #a_j = 0 #. Niin #deg (P) = 4 #.

Joten nyt, # P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Kehitämme sitä.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4 + 5) RR: ssä X #. Joten tämä ilmaus on paras # P # voimme löytää näillä ehdoilla!