Miten int x ^ lx?

Vastaus:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Selitys:

Aloitamme u-korvauksella # U = ln (x) #. Jaamme sen jälkeen # U # integroida suhteessa # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) x = int x * x ^ u

Nyt meidän on ratkaistava # X # kannalta # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u = int e ^ (u ^ 2 + u)

Saatat arvata, että tällä ei ole elementaarista johdannaista, ja olisit oikeassa. Voimme kuitenkin käyttää muotoa kuvitteellisen virheen toiminnassa, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) x #

Jotta saisimme integraalin tähän muotoon, meillä voi olla vain yksi neliön muuttuja # E #, joten meidän on täytettävä neliö:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Nyt voimme ottaa käyttöön u-korvauksen # T = u + 1/2 #. Johdannainen on oikea #1#, joten meidän ei tarvitse tehdä mitään erityistä integroitumiseen suhteessa # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

Nyt voimme kumota kaikki korvaukset saadaksesi:

#e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #