Miten käytät binomien sarjaa laajentaaksesi (5 + x) ^ 4?

Vastaus:

# (5 + x) ^ 4 = 625 + 500 x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 #

Selitys:

Binomien sarjan laajennus # (A + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 # antaa:

# (A + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (R! (N-1)!) ^ (N-r) (BX) ^ r) #

Joten meillä on:

# (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) x ^ 4 #

# (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 #

# (5 + x) ^ 4 = 625 + 500 x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 #

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Miten löydät ensimmäiset kolme ehtoa Maclaurin-sarjassa f (t) = (e ^ t - 1) / t: lle käyttäen Macaurin-sarjaa e ^ x?

Tiedämme, että e ^ x: n Maclaurin-sarja on summa_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Voimme myös johtaa tämän sarjan käyttämällä fla (f) (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) ja se, että kaikki e ^ x: n johdannaiset ovat edelleen e ^ x ja e ^ 0 = 1. Korvaa nyt yllä olevat sarjat (e ^ x-1) / x = (summa_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + summa_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (summa_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = summa_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jos haluat indeksin alkavan arvosta i = 0, korvaa n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !)

Miten käytät binomi-sarjaa laajentaaksesi sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Haluaisin melko tarkistaa, koska fysiikan opiskelijana olen harvoin ylitä (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx pienille x, joten olen hieman ruosteinen. Binominen sarja on erikoistunut tapaus binomiteoreemasta, jossa todetaan, että (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k With ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Mitä meillä on (z ^ 2-1) ^ (1/2) , tämä ei ole oikea muoto. Voit korjata tämän muistuttamalla, että i ^ 2 = -1, joten meillä on: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) on nyt oikea