Miten ratkaista sin3x = cos3x?

Vastaus:

Käyttää #tan 3x = (sin 3x) / (cos 3x) = 1 # löytää:

#x = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Selitys:

Päästää #t = 3x #

Jos #sin t = cos t # sitten #tan t = sin t / cos t = 1 #

Niin #t = arctan 1 + n pi = pi / 4 + n pi # mille tahansa #n ZZ: ssä

Niin #x = t / 3 = (pi / 4 + n pi) / 3 = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Vastaus:

Ratkaise sin 3x = cos 3x

Vastaus: #x = pi / 12 + Kpi / 3 #

Selitys:

Käytä täydentäviä kaaria koskevaa suhdetta:# cos x = sin (pi / 2 - x) #

#sin 3x = sin (pi / 2 - 3x) #

a. # 3x = pi / 2 - 3x # + 2Kpi -> # 6x = pi / 2 + 2Kpi -> #

#x = pi / 12 + Kpi / 3 #

Aikavälin sisällä# (0,2pi) # on 6 vastausta: # pi / 12; (5pi) / 12; (9pi) / 12; (13pi) / 12; (17pi) / 12; ja (21pi) /12.#

b. # 3x = pi - (pi / 2 - 3x) = pi / 2 + 3x. Tämä yhtälö on määrittelemätön.

Tarkistaa

#x = pi / 12 -> sin 3x = sin pi / 4 = sqrt2 / 2 #

#x = pi / 12 -> cos 3x = cos pi / 4 = sqrt2 / 2 #

Siksi sin 3x = cos 3x:

Voit tarkistaa muita vastauksia.

Vastaus:

#x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" väri (musta) ja), (- pi / 4 + (2pik) / 3):} #

# KinZZ #

Selitys:

Tässä on toinen menetelmä, jolla on omat käyttötarkoitukset.

Lähetä ensin jokainen asia yhdelle puolelle

# => Sin (3x) -cos (3x) = 0 #

Seuraavaksi ilmaista # Sin3x-cos3x # kuten #Rcos (3x + lambda) #

# R # on positiivinen todellinen ja # Lambda # on kulma

# => sin (3x) -cos (3x) = Rcos (3x + lambda) #

# => - cos (3x) + sin (3x) = Rcos (3x) coslambda-Rsin (3x) sinlambda #

Yhdistä kertoimet # Cosx # ja # Sinx # molemmin puolin

# => "" Rcoslambda = -1 "" … väri (punainen) ((1)) #

# "" -Rsinlambda = 1 "" … väri (punainen) ((2)) #

#COLOR (punainen) (((2)) / ((1))) => - (- Rsinlambda) / (Rcoslambda) = 1 / (- 1) #

# => Tanlambda = 1 => lambda = pi / 4 #

#color (punainen) ((1) ^ 2) + väri (punainen) ((2) ^ 2) => (Rcoslambda) ^ 2 + (- Rsinlambda) ^ 2 = (- 1) ^ 2 + (1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2lambda + sin ^ 2lambda) = 2 #

# => R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Niin, #sin (3x) -cos (3x) = sqrt (2) cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => Cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => 3x + pi / 4 = + - pi / 2 + 2pik #

Missä # KinZZ #

Tehdä # X # aihe

# => X = + - pi / 6-pi / 12 + 2pik #

Joten me kaksi ratkaisuryhmää:

#color (sininen) (x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" väri (musta) ja), (- pi / 4 + (2pik) / 3):}) #

Kun # K = 0 => x = pi / 12 + (2pi (0)) / 3 = pi / 12 #

ja # X = pi / 4 + (2pi (0)) / 3 = pi / 4 #

Kun # K = 1 => x = pi / 12 + (2pi) / 3 = (9pi) / 12 = (3pi) / 4 #

ja # X = pi / 4 + (2pi) / 3 = (5pi) / 12 #