Miten löydän integraalin int (x * cos (5x)) dx?

Pidämme mielessä kaavan integrointiin osittain, mikä on:

#int u dv = uv - int v du #

Jos haluat löytää tämän integraalin onnistuneesti, annamme sen #u = x #, ja #dv = cos 5x dx #. Siksi, #du = dx # ja #v = 1/5 sin 5x #. (# V # löytyy nopeasti # U #substituutio)

Syy, jonka valitsin # X # arvo # U # on, koska tiedän, että myöhemmin pääsen integroimaan # V # kerrottuna # U #'s johdannainen. Koska # U # on vain #1#ja koska liipaisutoiminnon integroiminen itsessään ei tee sitä monimutkaisemmaksi, olemme poistaneet tehokkaasti # X # integraatista ja vain huolestua sinistä nyt.

Niinpä, yhdistämällä IBP: n kaavaan, saamme:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Vetäminen #1/5# ulos integroinnista antaa meille:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Sinin integroiminen kestää vain a # U #substituutio. Koska olemme jo käyttäneet # U # IBP: n kaavan osalta käytän kirjainta # Q # sen sijaan:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Saat a # 5 dx # integraalin sisällä kerron integraalin toisella #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Ja korvaamalla kaikki # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Tiedämme, että #synti# on # -Cos #, joten voimme lopettaa tämän integroinnin helposti. Muista integraation vakio:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Nyt korvaamme vain takaisin # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Ja on meidän integraali.