MIKÄ on suurin säde, r ja korkeuden h sylinteri, joka mahtuu säteeseen, R?

Vastaus:

Sylinterin enimmäismäärä löytyy, jos valitsemme

# r = sqrt (2/3) R #, ja #h = (2R) / sqrt (3) #

Tämä valinta johtaa siihen, että sylinteritilavuus on suurin:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Selitys:

``

Kuvittele poikkileikkaus sylinterin keskipisteen läpi ja anna sylinterin korkeuden # H #ja äänenvoimakkuus # V #, sitten meillä on;

# H # ja # R # voi vaihdella ja # R # on vakio. Sylinterin tilavuus annetaan standardikaavalla:

# V = pir ^ 2h #

Pallon säde, # R # on sivusuunnassa olevan kolmion hypotenuusio # R # ja # 1 / 2h #, joten käytät Pythagoria, meillä on:

# ^ R = 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Voimme korvata tämän volyymiyhtälösi saadaksesi:

# T

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4p ^ ^ #

Meillä on nyt volyymi, # V # muuttujan funktiona # H #, jonka pyrimme maksimoimaan wrt # H # niin erottuva wrt # H # antaa:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4kpl ^ 2 #

Vähintään tai enintään # (DV) / (dh) = 0 # niin:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h = 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. ja h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (ilmeisesti haluamme te + ve root)

#:. ja h = (2R) / sqrt (3) #

Tällä arvolla # H # saamme:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Meidän on tarkistettava, että tämä arvo johtaa enimmäismäärään (enimmäismäärään verrattuna). Teemme tämän tarkastelemalla toista johdannaista:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4kpl ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Ja kuten #h> 0 # me päätämme, että # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # ja että tunnistettu kriittinen kohta johtaa haluttuun enimmäismäärään.

Siten sylinterin enimmäismäärä löytyy, jos valitsemme

# r = sqrt (2/3) R #, ja #h = (2R) / sqrt (3) #

Tällä valinnalla saamme enimmäismäärän;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)))

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Ja ilmeisesti pallon määrä on:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Tämä on hyvin kuuluisa ongelma, jota kreikkalaiset matemaatikot tutkivat tavalla ennen Calculuksen löytämistä. Mielenkiintoinen ominaisuus on sylinterin tilavuuden suhde pallon tilavuuteen:

# V / V_s = ((4piR ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Toisin sanoen määrien suhde on täysin riippumaton # R #, # R # tai # H # mikä on melko hämmästyttävä tulos!