Mitkä ovat f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) ääriarvot ja satulapisteet?

Vastaus:

# {: ("Kriittinen piste", "Päätelmä"), ((0,0,0), "satula"):} #

Selitys:

Teoria tunnistaa äärimmäisen # Z = f (x, y) # on:

Ratkaise samanaikaisesti kriittiset yhtälöt

# (osittainen f) / (osittainen x) = (osittainen f) / (osittainen y) = 0 t (ts # F_x = f_y = 0 #)
Arvioida #f_ (x x), f_ (yy) ja f_ (xy) (= f_ (yx)) # kussakin näistä kriittisistä kohdista. Arvioi siis # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # kussakin näistä kohdista
Määritä äärimmäisen luonne;

# {: (Delta> 0, "Minimi on, jos" f_ (xx) <0), (, "ja maksimi, jos" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "satulapiste")), (Delta = 0, "lisäanalyysi on tarpeen"):} #

Joten meillä on:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Etsi ensimmäiset osittaiset johdannaiset:

# (osittainen f) / (osittainen x) = te ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# # = te ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (osittainen f) / (osittainen y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Joten kriittiset yhtälöt ovat:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Näistä yhtälöistä meillä on:

# y = 0 # tai # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # tai # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Ja ainoa samanaikainen ratkaisu on # X = y = 0 #

Ja niin meillä on yksi kriittinen kohta alkuperässä

Katsokaamme nyt toisia osittaisia johdannaisia, jotta voimme määrittää kriittisen pisteen luonteen (mainitsen vain nämä tulokset):

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6x ^ ^ (x ^ 2) #

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) t (= (osittainen ^ 2f) / (osittainen y osittainen x)) #

Ja meidän on laskettava:

# Delta = (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2) (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2) - ((osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y)) 2

kussakin kriittisessä kohdassa. Toiset osittaiset johdannaiset, #Delta#ja päätelmät ovat seuraavat:

# {: ("Kriittinen piste", (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2), (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2), (osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y), Delta, "Päätelmä"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "sisällyttävä"):} #

Joten kaiken tämän työn jälkeen on melko pettymys saada kattava tulos, mutta jos tarkastelemme käyttäytymistä kriittisen kohdan ympärillä, voimme helposti todeta, että se on satulapiste.

Näemme nämä kriittiset kohdat, jos tarkastelemme 3D-juoni:

Mitkä ovat f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ääriarvot ja satulapisteet välissä x, y [-pi, pi]?

Meillä on: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Vaihe 1 - Etsi osittaiset johdannaiset Laskemme osittaisen johdannaisen kahden tai useamman muuttujan funktio erottelemalla yksi muuttuja, kun taas muut muuttujat käsitellään vakioina. Täten: Ensimmäiset johdannaiset ovat: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Toinen johdannaiset (noteeratut) ovat: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2-sekvenssi = = -12sinxcos2y Toiset osittaiset ristijohdannaiset ovat: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Huomaa, että toiset osittaiset ri

Mitkä ovat f (x, y) = 6 sin x sin y: n ääriarvot ja satulapisteet aikavälillä x, y [-pi, pi]?

X = pi / 2 ja y = pi x = pi / 2 ja y = -pi x = -pi / 2 ja y = pi x = -pi / 2 ja y = -pi x = pi ja y = pi / 2 x = pi ja y = -pi / 2 x = -pi ja y = pi / 2 x = -pi ja y = -pi / 2 2-muuttujan funktion kriittisten pisteiden löytämiseksi sinun on laskettava kaltevuus, joka on vektori, joka kertoo johdannaiset kunkin muuttujan suhteen: (d / dx f (x, y), d / dyf (x, y)) Joten meillä on d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) ja vastaavasti d / dyf (x, y) = 6sin (x) cos (y). Kriittisten pisteiden löytämiseksi gradientin on oltava nolla-vektori (0,0), joka tarkoittaa järjestelmän ratkaisemista {(6cos (

Mitkä ovat paikalliset ääriarvot, joissa satulapisteet ovat f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

Katso alla oleva selitys Toiminto on f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Osittaiset johdannaiset ovat (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Olkoon (delf) / (delx) = 0 ja (delf) / (dely) = 0 Sitten {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Hessian matriisi on Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) Määrittäjä on D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 S