Miten kirjoitat rationaalisen lausekkeen (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2) osittaisen murto-osan hajoamisen?

Vastaus:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Selitys:

Jotta voisimme kirjoittaa lausekkeen osittaisiksi jakoiksi, ajattelemme nimittäjän faktorointia.

Anna meille tekijä tekijä

#COLOR (sininen) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Väri (sininen) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Väri (sininen) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Polynomien identiteetin käyttäminen:

#COLOR (oranssi) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

meillä on:

#COLOR (sininen) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Väri (sininen) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Väri (sininen) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Hajota rationaalinen ilme etsimällä # A, B ja C #

#COLOR (ruskea) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = väri (vihreä) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#COLOR (ruskea) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Väri (ruskea) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Väri (ruskea) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = Väri (ruskea) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = väri (vihreä) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Sitten

#rArrcolor (ruskea) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = väri (vihreä) (3x) #

Meillä on kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta # A, B ja C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # EQ2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Järjestelmän ratkaiseminen

EQ2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (punainen) (B = -3-3C) #

korvaamalla # B # eq1: ssä meillä on:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3c + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (punainen) (A = 3 + 2C) #

korvaamalla #B ja C #eq3: ssa meillä on:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (väri (punainen) (3 + 2C)) - 2 (väri (punainen) (- 3-3c)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (punainen) (C = -1/2) #

#COLOR (punainen) (B = -3-3C) = - 3-3color (punainen) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#COLOR (punainen) (B = -3/2 #

#COLOR (punainen) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#COLOR (punainen) (A = 2) #

Korvaa arvot:

#COLOR (vihreä) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = väri (ruskea) (väri (punainen) 2 / (x-2) + (väri (punainen) (- 3 / 2)) / (x-1) + väri (punainen) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Siksi, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #