Miten löydät alueen, jonka käyrät y = x ^ 2 - 1 ja y = 0, ympäröimä tilavuus käännetään linjan x = 5 ympäri?

Vastaus:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Selitys:

Tämän määrän laskemiseksi olemme jossain mielessä leikkaamassa sen (äärettömän ohuiksi) viipaleiksi.

Kuvittelemme aluetta, auttamaan meitä tässä, olen liittänyt kaavion, jossa alue on osa käyrän alapuolella. Huomaa se # Y = x ^ 2-1 # ylittää linjan # X = 5 # missä # Y = 24 # ja että se ylittää linjan # Y = 0 # missä # X = 1 # kaavio {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Kun leikkaat tätä aluetta vaakasuorissa viipaleissa, joissa on korkeus # Dy # (erittäin pieni korkeus). Näiden viipaleiden pituus riippuu suuresti y-koordinaatista. tämän pituuden laskemiseksi meidän on tiedettävä etäisyys pisteestä # (Y, x) # linjalla # Y = x ^ 2-1 # kohtaan (5, y). Tietenkin tämä on # 5-x #, mutta haluamme tietää, miten se riippuu # Y #. Siitä asti kun # Y = x ^ 2-1 #, me tiedämme # X ^ 2 = y + 1 #, koska meillä on #X> 0 # alueelle, josta olemme kiinnostuneita, # X = sqrt (y + 1) #, joten tämä etäisyys riippuu # Y #, jota me merkitsemme #R (y) # on antanut #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Nyt pyöritämme tätä aluetta # X = 5 #Tämä tarkoittaa, että jokainen viipale tulee sylinteriksi, jolla on korkeus # Dy # ja säde #R (y) #, siis tilavuus #pir (y) ^ 2dy #. Nyt meidän on tehtävä nämä äärettömän pienet volyymit yhdentymisen avulla. Huomaa se # Y # menee #0# että #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.