Kaksi satelliittia P_ "1" ja P_ "2" kiertävät sädeissä R ja 4R. P_ "1": n ja P_ "2": n yhdistävän linjan suurimpien ja pienimpien kulmanopeuksien suhde on ??

Vastaus:

#-9/5#

Selitys:

Keplerin kolmannen lain mukaan # T ^ 2 propto R ^ 3 tarkoittaa omega-propto R ^ {- 3/2} #, jos ulomman satelliitin kulmanopeus on # Omega #, sisäisen on #omega kertaa (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Tarkastellaanpa # T = 0 # olla hetki, kun nämä kaksi satelliittia ovat rinnakkain äitib planeetan kanssa, ja ottakaamme tämä yhteinen linja # X # akselilla. Sitten kahden planeetan koordinaatit ajoissa # T # olemme # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # ja # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, vastaavasti.

Päästää # Theta # on kulma, jossa linja yhdistää kaksi satelliittia # X # akselilla. On helppo nähdä se

#taneta = (4R sin (omega-t) -Rsin (8 omega-t)) / (4R cos (omega-t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Erottelutuotot

# sek ^ teta (deta) / dt = d / dt (4 sin (omega-t) -sin (8 omega-t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 kertaa #

#qquad (4 cos (omega t) -cc (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega-t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega-sin (8 omega t)) #

Täten

# (4 cos (omega-t) -cos (8 omega-t)) ^ 2 1 + ((4-sin (omega-t) -siini (8 omega-t)) / (4 cos (omega-t) -cos (8 omega) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega-t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t))

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9kg (7 omega t) tarkoittaa #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (deta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) tarkoittaa #

# (deta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) ekv. 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Missä toiminto on

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

sillä on johdannainen

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

ja on siten monotonisesti alenevassa aikavälillä #-1,1#.

Niinpä kulmanopeus # (d theta) / dt # on suurin, kun #cos (7 omega t) # on pienin, ja päinvastoin.

Niin, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 kertaa (-1)) / (17-8 kertaa (-1)) #

#qquad qquad qquad = 12 omega kertaa 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 kertaa 1) / (17-8 kertaa 1) #

#qquad qquad qquad = 12 omega kertaa (-1) / 9 = -4/3 omega #

ja siten näiden kahden suhde on:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Huomautus Se, että # (d theta) / dt # muutokset merkki on syynä ns