Mitkä ovat funktion f (x) = x / (1 + x ^ 2) funktion maksimi- ja minimiarvot?

Vastaus:

Maksimi: #1/2#

Minimi: #-1/2#

Selitys:

Vaihtoehtoinen lähestymistapa on järjestää funktio uudelleen kvadratiiviseksi yhtälöksi. Kuten tämä:

#f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 #

Päästää #f (x) = c "" # näyttää se lähemmäksi:-)

# => cx ^ 2-x + c = 0 #

Muista, että kaikkien tämän yhtälön todellisten juurien osalta syrjivä on positiivinen tai nolla

Joten meillä on, # (- 1) ^ 2-4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 #

On helppo tunnistaa se # -1/2 <= c <= 1/2 #

Siten, # -1/2 <= f (x) <= 1/2 #

Tämä osoittaa, että maksimi on #f (x) = 1/2 # ja minimi on #f (x) = 1/2 #

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Mitkä ovat funktion y = -x ^ 2-4x + 3 funktion huippu, symmetria-akseli, maksimi- tai minimiarvo, toimialue ja alue?

X pisteestä ja symmetria-akselista: x = -b / 2a = 4 / -2 = -2. y pisteestä: y = f (-2) = -4 + 8 + 3 = 7 Koska a = -1, parabola avautuu alaspäin, on enintään (-2, 7) Domain: (-infinity, + ääretön ) Alue (-infinity, 7)

Miten löydät f: n absoluuttiset maksimi- ja absoluuttiset minimiarvot annetulla aikavälillä: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) [-1, 5]: ssä?

Reqd. äärimmäiset arvot ovat -25/2 ja 25/2. Käytämme korvausta t = 5sinx, t [-1,5]. Huomaa, että tämä substituutio on sallittua, koska t in [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, joka pitää hyvänä, kuten synnin hauskaa. on [-1,1]. Nyt, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Koska, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2. raajat ovat -25/2 ja 25/2.