Miten löydät f: n absoluuttiset maksimi- ja absoluuttiset minimiarvot annetulla aikavälillä: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) [-1, 5]: ssä?

Vastaus:

Reqd. äärimmäiset arvot ovat # -25 / 2 ja 25/2 #.

Selitys:

Käytämme korvaamista # t = 5sinx, t vuonna -1,5 #.

Huomaa, että tämä korvaaminen on sallittua, koska

# t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, joka pitää hyvänä, vaihteluvälinä #synti# hauskaa. on #-1,1#.

Nyt, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Siitä asti kun, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Siksi on hyvä. raajat ovat # -25 / 2 ja 25/2 #.

Vastaus:

Etsi funktion yksitoikko johdannaisen merkistä ja päättää, mitkä paikalliset maksimi / vähimmäismäärät ovat suurimmat, pienimmät.

Absoluuttinen enimmäismäärä on:

#f (3,536) = 12,5 #

Absoluuttinen minimi on:

#f (-1) = - 4,899 #

Selitys:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Toiminnon johdannainen:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Laskimessa on kaksi ratkaisua:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Siksi lukija on:

  Negatiivinen #t (-oo, -3,536) uu (3.536, + oo) #

  Positiivinen #t in (-3,536,3,536) #

• Nimittäjä on aina positiivinen # RR #, koska se on neliöjuuri.

  Lopuksi annettu alue on #-1,5#

Sen vuoksi funktion johdannainen on:

- Negatiivinen #t kohdassa -1,3536 #

- Positiivinen #t in (3.536,5) #

Tämä tarkoittaa, että kaavio nousee ensin #f (-1) # että #F (3,536) # ja sitten menee alas #F (5) #. Tämä tekee #F (3,536) # absoluuttinen enimmäisarvo ja suurin arvo #f (-1) # ja #F (5) # on ehdoton minimi.

Absoluuttinen maksimiarvo on #F (3,536) #:

#f (3,536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12,5 #

Absoluuttinen enimmäismäärä:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Siksi, #f (-1) = - 4,899 # on ehdoton minimi.

Alla olevasta kaaviosta näet, että tämä on totta. Ohita vain jäljellä oleva alue #-1# koska se on poissa verkkotunnuksesta:

kaavio {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}