Tasakylkinen kolmio sisältää sivuja A, B ja C, joiden sivut B ja C ovat yhtä pitkät. Jos puolella A on (1, 4) - (5, 1) ja kolmion alue on 15, mitkä ovat kolmion kolmannen kulman mahdolliset koordinaatit?

Vastaus:

Molemmat pisteet muodostavat pituuden 5 pituuden, joten korkeuden on oltava 6, jotta alue 15 saadaan. Jalka on pisteiden keskipiste ja kuusi yksikköä joko kohtisuorassa suunnassa antaa # (33/5, 73/10)# tai #(- 3/5, - 23/10) #.

Selitys:

Pro-vinkki: Yritä pysyä pienten kirjainten yleissopimuksessa kolmion sivuille ja pääkaupungeille kolmion pisteille.

Meille on annettu kaksi pistettä ja alue tasakylkinen kolmio. Kaksi pistettä muodostavat pohjan, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Jalka # F # korkeus on kahden pisteen keskipiste, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Suunta-vektori pisteiden välillä on #(1-5, 4-1)=(-4,3)# suuruudella 5, kuten juuri laskettiin. Saamme kohtisuoran suunta-vektorin vaihtamalla pisteitä ja kieltämällä yhden niistä: #(3,4)# jonka on myös oltava viisi.

Koska alue # A = fr 1 2 b h = 15 # saamme # H = (2 * 15) /b=6.#

Joten meidän täytyy liikkua #6# yksiköt # F # joko kohtisuorassa suunnassa saadaksemme kolmannen vertexin, jonka olen kutsunut # C #:

# C = F 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) tai C = (- 3/5, - 23/10) #

Tarkistaa: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Allekirjoitettu alue on sitten puolet ristituotteesta

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad {} #

Se on loppu, mutta yleistetään vastaus hieman. Unohdetaan, että se on tasakokoinen. Jos meillä on C (x, y), alue annetaan kengännauha-kaavalla:

# A = fr 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Alue on #15#:

# 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 30 = 3x + 4v #

# 49 = 3x + 4y # tai # -11 = 3x + 4y #

Joten jos kärki C on jompikumpi näistä kahdesta rinnakkaisesta viivasta, meillä on alueen 15 kolmio.

Päästää # PR = A # on tasakylkinen kolmio, jonka päätepisteiden koordinaatit ovat seuraavat

#Pto (1,4) # ja #Rto (5,1) #

Olkoon kolmion kolmannen pisteen koordinaatit # (X, y) #.

Kuten # (X, y) # on yhtä suuri kuin P ja R, joita voimme kirjoittaa

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => X = (9 + 6v) / 8 …… 1 #

Uudelleen # (X, y) # ollessa yhtä kaukana P: stä ja R: stä, kohtisuora putosi # (X, y) # että #PR# täytyy bisect it, Olkoon tämä jalka kohtisuorassa tai keskipisteessä #PR# olla # T #

Joten koordinaatit #Tto (3,2.5) #

Nyt tasakylkisen kolmion korkeus

# H sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

Ja tasapuolisten kolmion pohja

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Joten ongelma sen alueella

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

2 ja 1 saamme

# ((9 + 6v) / 8-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6v-15) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => (6v-15) ^ 2 + 64 (y-2,5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2,5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Niin # y = 7,3 ja y = -2,3 #

kun # Y = 7.3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

kun # Y = -2,3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Joten kolmannen pisteen koordinaatit ovat

# (6.6,7.3) kohtaan "Q kuvassa" #

TAI

# (- 0.6, -2.3) arvoon "S kuvassa" #