Mitkä ovat f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ääriarvot ja satulapisteet välissä x, y [-pi, pi]?

Vastaus:

Selitys:

Meillä on:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Vaihe 2 - Kriittisten pisteiden tunnistaminen

Kriittinen piste esiintyy samanaikaisesti

# f_x = f_y = 0 iff (osittainen f) / (osittainen x) = (osittainen f) / (osittainen y) = 0 #

ts. kun:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # samanaikaisesti

Harkitse yhtälöä A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Sitten meillä on kaksi ratkaisua:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Käytä nyt vastaavaa koordinaattia käyttämällä Eq B: tä:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x RR: ssä (Kourut)

Mikä antaa meille seuraavat kriittiset kohdat:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) t (4 kriittistä pistettä)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 kriittistä pistettä)

# (alfa, 0) AA-alfa RR: ssä t (viemärilinja)

# (alfa, + -pi) AA-alfa RR: ssä (2 viemärilinjaa)

Harkitse yhtälöä B

# -6sinxsin2y = 0 #

Sitten meillä on kaksi ratkaisua:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Käytä nyt vastaavaa koordinaattia @ käyttämällä Eq A.

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (toistaa edellä)

# y = 0 => x RR: ssä (toista edellä)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (toistaa edellä)

Mikä ei anna meille muita kriittisiä kohtia:

Vaihe 3 - Luokittele kriittiset kohdat

Kriittisten pisteiden luokittelemiseksi suoritamme testin, joka on samanlainen kuin yhden muuttujan laskennan käyttäen toisia osittaisia johdannaisia ja Hessian Matrixia.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((osittainen ^ 2 f) / (osittainen x ^ 2), (osittainen ^ 2 f) / (osittainen x osittainen y)) ((osittainen ^ 2 f) / (osittainen y osittainen x), (osittainen ^ 2 f)) / (osittainen y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sitten riippuen arvosta #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Maksimi, jos" f_ (xx) <0), (, "ja vähimmäismäärä, jos" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "satulapiste")), (Delta = 0, "lisäanalyysi on tarpeen"):} #

Mukautettujen Excel-makrojen käyttäminen funktion arvot ja osittaisten johdannaisten arvot lasketaan seuraavasti:

Tässä on kaavio toiminnosta

Ja kriittisten pisteiden (ja vesikourujen)