Onko järjestelmällistä tapaa määrittää, kuinka monta numeroa on välillä 10 ja, esimerkiksi, 50, jaettuna niiden yksiköillä?

Vastaus:

Numeroiden lukumäärä välillä #10# ja # 10k # jaetaan niiden yksiköiden numerolla, voidaan esittää

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

missä #fl (x) # edustaa lattiatoimintoa, kartoitusta # X # suurimpaan kokonaislukuun, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin # X #.

Selitys:

Tämä vastaa sitä, kuinka monta kokonaislukua # A # ja # B # olemassa # 1 <= b <5 # ja # 1 <a <9 # ja # A # jakaa # 10b + a #

Ota huomioon, että # A # jakaa # 10b + a # jos ja vain jos # A # jakaa # 10b #. Näin ollen riittää, kuinka monta tällaista # B #s on olemassa kullekin # A #. Huomaa myös, että # A # jakaa # 10b # jos ja vain, jos jokainen ensisijainen tekijä # A # on myös tärkein tekijä # 10b # asianmukaisella moninaisuudella.

Kaiken tämän jälkeen on mennä läpi jokainen # A #.

#a = 1 #: Koska kaikki kokonaisluvut ovat jaettavissa #1#, kaikki neljä arvoa # B # työ.

# A = 2 #: Kuten #10# on jaollinen #2#, kaikki neljä arvoa # B # työ.

# A = 3 #: Kuten #10# ei ole jaollinen #3#, meidän on oltava # B # jaettava #3#, tuo on, # B = 3 #.

# A = 4 #: Kuten #10# on jaollinen #2#, meidän on oltava # B # jaettava #2# saada asianmukainen moninaisuus. Täten, # B = 2 # tai # B = 4 #.

# A = 5 #: Kuten #10# on jaollinen #5#, kaikki neljä arvoa # B # työ.

# A = 6 #: Kuten #10# on jaollinen #2#, meidän on oltava # B # jaettava #3#, tuo on, # B = 3 #.

# A = 7 #: Kuten #10# ei ole jaollinen #7#, meidän on oltava # B # jaettava #7#. Mutta #b <5 #, joten mitään arvoa ei ole # B # toimii.

# A = 8 #: Kuten #10# on jaollinen #2#, meidän on oltava # B # jaettava #4#, tuo on, # B = 4 #

# A = 9: # Kuten #10# ei ole jaollinen #3#, meidän on oltava # B # jaettava #3^2#. Mutta #b <5 #, joten mitään arvoa ei ole # B # toimii.

Tämä päättyy jokaiseen tapaukseen, ja siten lisäämällä ne, saamme, kuten kysymyksessä todetaan, #17# arvot. Tämä menetelmä voidaan kuitenkin helposti laajentaa suurempiin arvoihin. Esimerkiksi, jos halusimme mennä #10# että #1000#, me rajoittaisimme # 1 <= b <100 #. Sitten katsot # A = 6 #Sanoisin, meillä olisi #2# jakaa #10# ja näin #6# jakaa # 10b # jos ja vain jos #3# jakaa # B #. On #33# kerran #3# alueella # B #, ja näin #33# numerot, jotka päättyvät #6# ja ovat jaettavissa #6# välillä #10# ja #1000#.

Lyhyemmässä, helpommassa laskennassa voidaan edellä olevien havaintojen avulla kirjoittaa kokonaislukujen lukumäärä #10# ja # 10k # kuten

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

missä #fl (x) # edustaa lattiatoimintoa, kartoitusta # X # suurimpaan kokonaislukuun, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin # X #.