Laske summa_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Vastaus:

Teleskooppisarja 1

Selitys:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

Tämä on romahtava (teleskooppinen) sarja.

Sen ensimmäinen termi on

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Tämä vastaa

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Näytä, että 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), n> 1?

Alla Jos haluat osoittaa, että epätasa-arvo on totta, käytät matemaattista induktiota 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) n: lle> 1 Vaihe 1: Todista, että n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, sitten LHS> RHS. Siksi se pätee n = 2: een Vaihe 2: Oletetaan totta n: k: ksi, jossa k on kokonaisluku ja k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Vaihe 3: Kun n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) eli 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RH

Akuutin kolmion sivupituudet ovat sqrtn, sqrt (n + 1) ja sqrt (n + 2). Miten löydät n?

Jos kolmio on oikea kolmio, suurimman puolen neliö on yhtä suuri kuin pienempien sivujen neliöiden summa. Mutta kolmio on terävä kulma. Niinpä suurimman puolen neliö on pienempi kuin pienempien puolien neliöiden summa. Näin ollen (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1