Mikä on yhtälön 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 juurien summa?

Annettu yhtälö

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

ottaen # 2 ^ x = y # yhtälö tulee

# => Y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => Y ^ 2-16y-8Y + 128 = 0 #

# => Y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (Y-16) (y-8) = 0 #

Niin #y = 8 ja y = 16 #

kun # Y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

kun # Y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Näin ollen juuret ovat # 3 ja 4 #

Niinpä juurien summa on #=3+4=7#

Vastaus:

#7#

Selitys:

Jos #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2- (a + b) x + ab #

# X # kerroin on juurien summa.

Sisään # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # meillä on se

#24# on summa # R_1 # ja # R_2 # niin että

# (2 ^ x-r_1) (2 ^ x-R_2) = 0 #

Meillä on myös # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # ja

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

sitten

# R_1 = 2 ^ 3-> x_1 = 3 # ja

# R_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # niin

# X_1 + x_2 = 7 #