Ympyrällä A on keskipiste (6, 5) ja pinta-ala 6 pi. Ympyrällä B on keskipiste (12, 7) ja pinta-ala on 48 pi. Onko ympyrät päällekkäisiä?

Vastaus:

Siitä asti kun

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # ja

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

voimme tehdä todellisen kolmion, jossa on neliön sivut 48, 6 ja 40, joten nämä ympyrät leikkaavat.

Selitys:

Miksi maksuton # Pi #?

Alue on #A = pi r ^ 2 # niin # R ^ 2 = A / pi. # Ensimmäisellä ympyrällä on siis säde # R_1 = sqrt {6} # ja toinen # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Keskukset ovat #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # toisistaan.

Joten ympyrät limittyvät jos #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Se on niin ruma, että saat anteeksi siitä, että saavutitte laskimen. Mutta se ei todellakaan ole välttämätöntä. Otetaan kiertotietä ja katsotaan, miten tämä tehdään Rational Trigonometryllä. Siellä olemme vain huolissaan neliön pituuksista, joita kutsutaan quadrances.

Sanotaan, että haluamme testata, onko kolme neljäsosaa # A, B, C # ovat kolinaaristen pisteiden väliset neliöt, ts. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # tai #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # tai #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Me kirjoitamme sen

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

neliöimistä, #C = A + B 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring uudelleen, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Osoittautuu

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

on diskriminantti kolmioille. Näytimme vain jos #mathcal {A} = 0 # se tarkoittaa, että meillä on a rappeutunut kolmio, muodostuu kolmesta yhteisestä pisteestä. Jos #mathcal {A}> 0 # sitten meillä on todellinen kolmio, kummallakin puolella vähemmän kuin kahden muun summa. Jos #mathcal {A} <0 # meillä ei ole puolia, jotka täyttävät kolmion epätasa-arvoa, ja me kutsumme joskus tätä kuvitteellinen kolmio.

Palatkaamme takaisin kysymykseemme, joka on asennettu uuden kolmio-syrjintämme kanssa #mathcal {A} #. Jos ympyrät leikkaavat meidät, voimme tehdä kolmesta kolmesta keskuksesta ja risteyksestä, niin että sivuilla on pituudet # R_1 #, # R_2 #ja keskusten välinen etäisyys #(6,5)# ja #(12,7)#. Meillä on

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # joten meillä on todellinen kolmio eli päällekkäiset ympyrät.

Voi kyllä, mikä tahansa kolmio #mathcal {A} = 16 (teksti {alue}) ^ 2.

Tarkista: Alpha

Ympyrällä A on keskipiste (5, -2) ja säde 2. Ympyrällä B on keskipiste (2, -1) ja säde 3. Onko ympyrät päällekkäisiä? Jos ei, mikä on pienin etäisyys niiden välillä?

Kyllä, ympyrät ovat päällekkäisiä. laskea keskipisteen häiriö Lasketaan P_2 (x_2, y_2) = (5, -2) ja P_1 (x_1, y_1) = (2, -1) d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1 ) ^ 2) d = sqrt ((5-2) ^ 2 + (- 2--1) ^ 2) d = sqrt ((3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) d = sqrt10 = 3.16 Laske summa säteistä r_t = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 r_1 + r_2> d ympyrät päällekkäin Jumalan siunatkoon .... Toivon, että selitys on hyödyllinen.

Ympyrällä A on keskipiste (-9, -1) ja säde 3. Ympyrällä B on keskipiste (-8, 3) ja säde 1. Onko ympyrät päällekkäisiä? Jos ei, mikä on pienin etäisyys niiden välillä?

Piirit eivät ole päällekkäisiä. Pienin etäisyys niiden välillä = sqrt17-4 = 0.1231 Annettujen tietojen perusteella: ympyrällä A on keskipiste ( 9, 1) ja säde 3. Ympyrällä B on keskipiste ( 8,3) ja säde 1. Onko ympyrät päällekkäisiä? Jos ei, mikä on pienin etäisyys niiden välillä? Ratkaisu: Laske etäisyys ympyrän A keskustasta ympyrän keskelle B. d = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2) d = sqrt ((- 9--8) ^ 2 + (-1-3) ^ 2) d = sqrt ((- 1) ^ 2 + (- 4) ^ 2) d = sqrt (1 + 16) d = sqrt17 d = 4.1231 L

Ympyrällä A on keskipiste (5, 4) ja säde 4. Ympyrällä B on keskipiste (6, -8) ja säde 2. Onko ympyrät päällekkäisiä? Jos ei, mikä on pienin etäisyys niiden välillä?

Piirit eivät ole päällekkäisiä. Pienin etäisyys = dS = 12.04159-6 = 6.04159 "" yksiköitä annetuista tiedoista: ympyrällä A on keskipiste (5,4) ja säde 4. ympyrällä B on keskipiste (6, -8) ja säde 2. Kiertävätkö ympyrät? Jos ei, mikä on pienin etäisyys niiden välillä? Laske säteen summa: Sum S = r_a + r_b = 4 + 2 = 6 "" yksikköä Laske etäisyys ympyrän A keskustasta ympyrän B keskipisteeseen: d = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a -y_b) ^ 2) d = sqrt ((5-6) ^ 2 + (4--8) ^ 2)