Miten löydät rinnakkaisohjelman alueen pisteillä?

Vastaus:

Rinnakkaisväliin # ABCD # alue on

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Selitys:

Oletetaan, että meidän rinnakkaiskaavio # ABCD # määritellään sen neljän pään koordinaattien - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, Y_C #, # X_D, y_D #.

Laskenta-aluettamme määrittämiseksi tarvitsemme sen pohjan # | AB | # ja korkeus # | DH | # pisteestä # D # osoittaa # H # sivulla # AB # (tuo on, #DH_ | _AB #).

Ensinnäkin tehtävän yksinkertaistamiseksi siirretään se paikkaan, kun sen huippu # A # vastaa koordinaattien alkuperää. Alue on sama, mutta laskelmat ovat helpompia.

Niinpä suoritamme seuraavat koordinaattien muutokset:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Sitten (# U, V #) kaikkien huippujen koordinaatit ovat:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = X_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = Y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Kaksi vektoria määrittelee nyt meidän rinnakkaiskaavio:

# P = (U_B, V_B) # ja # Q = (U_D, V_D) #

Määritä pohjapituus # AB # vektorin pituudeksi # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Korkeuden pituus # | DH | # voidaan ilmaista # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Pituus #ILMOITUS# on vektorin pituus # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kulma #/_HUONO# voidaan määrittää käyttämällä kahta ekspressiota vektorien skalaari- (piste) tuotteelle # P # ja # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

josta

# Cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Nyt tiedämme kaikki alueet alueen laskemiseksi:

pohja # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Korkeus # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Alue on niiden tuote:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Alkuperäisten koordinaattien perusteella näyttää siltä:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Vastaus:

toinen keskustelu

Selitys:

Geometriset todisteet

Kun otetaan huomioon kuvio

voimme helposti muodostaa kaavan ABCD-rinnakkaisohjelman alueen laskemiseksi, kun tiedetään kaikki kolme huippua (sanoa A, B, D).

Koska diagonaalinen BD jakaa rinnakkaismittarin kahteen yhteensopivaan kolmioon.

ABCD-rinnakkaisohjelman alue

= 2 kolmion ABD alue

= 2 trapetsin pinta-ala BAPQ + ansan pinta-ala BQRD - loukun alue DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-puoli (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + peruuta (Y_BX_B) -korvaus (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + peruuta (Y_DX_D) -korjaus (Y_BX_B) -Y_AX_D-peruuta (Y_DX_D) + peruuta (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Tämä kaava antaa rinnakkaisohjelman alueen.

Todiste vektorin huomioon ottamisesta

Se voidaan myös ottaa huomioon harkittaessa #vec (AB) # ja# vec (AD) #

Nyt

Piste A w.r, t alkuperä O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Pisteen B sijainnin vektori, t alkuperä, O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Pisteen D sijainnin vektori t, alkuperä O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Nyt

Parallelogram ABCD -alue

# = Base (AD) * Korkeus (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Uudelleen

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Alue = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + peruuta (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-peruuta (Y_AX_A) |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Siten meillä on sama kaava