Mikä on linjan yhtälö, joka on normaali polaariseen käyrään f (theta) = - 5theta ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3), theta = pi?

Vastaus:

Linja on #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Selitys:

Tämä yhtälön behemoth johdetaan jonkin verran pitkällä prosessilla. Esitän ensin vaiheet, joilla johdannainen jatkuu ja suorittaa sitten nämä vaiheet.

Meille annetaan toiminto polaarikoordinaateissa, #F (theta) #. Voimme ottaa johdannaisen, #f "(theta) #, mutta todellakin löytää rivi karteesisissa koordinaateissa, tarvitsemme # Dy / dx #.

Voimme löytää # Dy / dx # käyttämällä seuraavaa yhtälöä:

# dy / dx = (f '(teta) sin (teta) + f (theta) cos (teta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Sitten liitämme tämän rinteen tavalliseen karteesiseen rivimuotoon:

#y = mx + b #

Syötä kiinnostavan paikan karteesinen muunnettu polaarikoordinaatti:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Muutamia asioita, joiden pitäisi olla välittömästi ilmeisiä ja pelastaa meidät aika alas linjalla. Otamme pisteen tangentin #theta = pi #. Se tarkoittaa, että #sin (theta) = 0 # niin…

1) Yhtälömme # Dy / dx # todellisuudessa on:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Pisteemme karteesisen koordinaattien yhtälöt tulevat:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Aluksi todellisen ongelman ratkaiseminen, ensimmäinen toimintamme on löytää #f "(theta) #. Ei ole vaikeaa, vain kolme helppoa johdannaista, joissa on ketjun säännöt kahdelle:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Nyt haluamme tietää #F (pii) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

Ja #f "(PI) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Näiden kanssa olemme valmiita määrittämään rinneemme:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Voimme liittää tämän sisään # M # sisään #y = mx + b #. Muista, että olemme aiemmin päättäneet sen # Y = 0 # ja #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Voimme yhdistää aiemmin määritellyt # M # meidän hiljattain määritetyn # B # antaa yhtälö riville:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #