Miten yksinkertaistan (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Vastaus:

# Cos ^ 5x #

Selitys:

Tällainen ongelma ei todellakaan ole niin huono, kun tunnistat, että siihen liittyy pieni algebra!

Ensinnäkin, kirjoitan tietyn lausekkeen uudelleen, jotta seuraavat vaiheet olisi helpompi ymmärtää. Tiedämme sen # Sin ^ 2 x # on vain yksinkertaisempi tapa kirjoittaa # (sin x) ^ 2 #. Samalla lailla, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Nyt voimme kirjoittaa alkuperäisen lausekkeen uudelleen.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Nyt tässä on osa algebraa. Päästää #sin x = a #. Voimme kirjoittaa # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # kuten

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Näyttääkö se tutulta? Meidän on vain otettava se huomioon! Tämä on täydellinen nelikulmainen neliö. Siitä asti kun # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, voimme sanoa

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Siirry takaisin alkuperäiseen tilanteeseen. Re-korvike #sin x # varten # A #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (väri (sininen) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Voimme nyt käyttää trigonometristä identiteettiä, jotta termejä voidaan yksinkertaistaa sinisenä. Identiteetin järjestäminen uudelleen # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, saamme #color (sininen) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (väri (sininen) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Kun tämä on neliö, negatiiviset merkit lisääntyvät positiivisiksi.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

Täten, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.