Kahden positiivisen reaaliluvun suhde on p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) ja sitten niiden suhde AM: ään ja GM: iin?

Vastaus:

# p / q #.

Selitys:

Anna nos. olla #x ja y, "missä, x, y" RR ^ +: ssa.

Mitä annetaan, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "sanoa" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) ja y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Nyt OLEN # A # of # X, y # on, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, ja heidän

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Selvästi, # "haluttu suhde" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Vastaus:

# P / q #

Selitys:

Aion käyttää samaa merkintää kuin tässä vastauksessa. Itse asiassa tämä ratkaisu ei ole todellinen välttämättömyys (koska ongelma on jo ratkaistu melko hyvin), paitsi että se kuvaa hyvin rakastaman tekniikan käyttöä!

Ongelman mukaan

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Componendon ja dividendon avulla (tämä on suosikkitekniikka, johon edellä mainitsin) saamme

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) tarkoittaa #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) tarkoittaa #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) tarkoittaa #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 tarkoittaa #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• joka on vaadittu AM: GM-suhde.