Mikä on integraali (ln (xe ^ x)) / x?

Vastaus:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Selitys:

Meille annetaan:

# Int # #ln (xe Ax) / (x) dx #

käyttämällä #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

käyttämällä #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

käyttämällä #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Jako jaetaan (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Yhdistettyjen integraalien erottaminen:

# = Int # #ln (x) / xdx +

Toinen integraali on yksinkertaisesti #x + C #, missä # C # on mielivaltainen vakio. Ensimmäinen integraali, jota käytämme # U #substituutio:

Päästää #u ekv ln (x) #, siis #du = 1 / x dx #

käyttämällä # U #substituutio:

# = int udu + x + C #

Integrointi (mielivaltainen vakio # C # voi absorboida ensimmäisen määrittelemättömän integraalin mielivaltaisen vakion:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Korvaaminen takaisin # X #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Vastaus:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Selitys:

Aloitamme käyttämällä seuraavaa logaritmi-identiteettiä:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Sovellettaessa tätä integraaliin saamme:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = intn (x) / x + ln (e ^ x) / x x = #

# = intn (x) / x + x / x dx = intn (x) / x + 1 dx = intnn (x) / x x + x #

Jäljellä olevan integraalin arvioimiseksi käytämme integrointia osittain:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) x # #

Annan sen #f (x) = ln (x) # ja #G '(x) = 1 / x #. Sitten voimme laskea, että:

#f '(x) = 1 / x # ja #G (x) = ln (x) #

Sitten voimme soveltaa integrointia osakaavan avulla saadaksesi:

#intn (x) / x x = ln (x) * ln (x) -nn (x) / x xx #

Koska meillä on tasa-merkin molemmin puolin kiinteä osa, voimme ratkaista sen yhtälönä:

# 2intn (x) / x x = ln ^ 2 (x) #

#intn (x) / x x = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Takaisin alkuperäiseen lausekkeeseen saamme lopullisen vastauksen:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #