Vastaus:
Verkkotunnus: koko todellinen rivi
alue: #-0.0757,0.826#
Selitys:
Tätä kysymystä voidaan tulkita kahdella tavalla. Odotamme joko käsittelevän vain todellista linjaa # RR #tai muuten myös monimutkaisen tason kanssa # CC #. Käyttö # X # muuttujana tarkoittaa, että käsittelemme vain todellista linjaa, mutta on mielenkiintoista eroa näiden kahden tapauksen välillä.
Verkkotunnus # F # on kokonaisluku, joka otetaan huomioon miinus kaikki pisteet, jotka aiheuttavat toiminnon puhaltaa äärettömään asti. Tämä tapahtuu, kun nimittäjä # X ^ 2 + 4 = 0 #, eli milloin # X ^ 2 = -4 #. Tällä yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja, joten jos työskentelemme todellisella rivillä, verkkotunnus on koko aikaväli # (- oo, + oo) #. Jos harkitsemme funktion ääretön raja-arvoja vertaamalla lukijan ja nimittäjän johtavia termejä, näemme, että molemmilla infiniteeteilla se pyrkii nollaan, ja niin voimme, jos haluamme lisätä nämä tälle aikavälille sulkeaksesi sen: # - oo, + oo #.
Yhtälö # X ^ 2 = -4 # on kuitenkin kaksi monimutkaista ratkaisua, #X = + - 2i #. Jos tarkastelemme koko monimutkaista tasoa, verkkotunnus on koko taso, josta on vähennetty nämä kaksi pistettä: # CC # # {+ - 2i} #. Kuten todellisuudessa, voimme lisätä loputtomasti vastaavasti, jos haluamme.
Voit määrittää # F # meidän on löydettävä sen enimmäis- ja vähimmäisarvot verkkotunnuksensa yli. Puhumme nyt vain reaaliaikaisesta, koska analogin määrittäminen näille monimutkaisen tason yli on yleensä erilainen ongelma, joka vaatii erilaisia matemaattisia työkaluja.
Ota ensimmäinen johdannainen osuussäännön kautta:
#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #
Toiminto # F # saavuttaa joko ekstremumin tai taivutuspisteen, kun #f '(x) = 0 #, eli milloin # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.
Ratkaistaan tämä neliökaavalla:
# X = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Toiminnolla on siis kaksi tällaista pistettä.
Me karakterisoimme nämä kohdat tarkastelemalla niiden arvoja toisella johdannaisella # F #, jota otamme jälleen osamäärän mukaan:
#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #
# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #
Tiedämme ensimmäisestä johdannaisjuurilaskennastamme, että lukijan toinen termi on näille kahdelle kohdalle nolla, koska nollaan asettaminen on yhtälö, jonka juuri ratkaisimme, jotta löydettäisiin tulonumerot.
Niin, huomaten sen # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:
#f '(- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #
# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #
Määritettäessä tämän ilmaisun merkkiä pyydämme, onko # 26> 6sqrt (13) #. Vertaile molempia puolia: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Niin # 26-6sqrt (13) # on positiivinen (ja # 26 + 6sqrt (13) # vielä enemmän niin).
Niinpä koko lausekkeen merkki tulee alas #bar (+) # sen edessä, mikä tarkoittaa sitä # X = -3-sqrt (13) # on #f '' (x)> 0 # (ja on siten funktio vähintään) ja # X = -3 + sqrt (13) # on #f '' (x) <0 # (ja on siten funktio enintään). Ottaen huomioon, että funktio pyrkii olemaan nolla äärettömyydessä, ymmärrämme nyt toiminnon muodon täysin.
Niinpä nyt, kun haluat saavuttaa alueen, meidän on laskettava funktion arvot pienimmillä ja maksimipisteillä # X = -3 + -sqrt (13) #
Muista tuo #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, ja niin
#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) + 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.
Joten todellisen linjan yli # RR # toiminto #F (x) # ottaa arvot alueelle # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, joka, jos arvioimme numeerisesti, tulee #-0.0757,0.826#, kolmeen merkittävään lukuun, jotka on saatu osoitteesta # X # arvot #-6.61# ja #0.606# (3 s.f.)
Piirrä funktion graafinen kuvaaja mielialan tarkistuksena:
kaavio {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}
Vastaus:
domain: #x RR: ssä
alue: #f (x) kohdassa -0.075693909, + 0.825693909 (valkoinen) ("xxx") # (Noin)
Selitys:
tietty
#COLOR (valkoinen) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
verkkotunnuksen
verkkotunnuksen ovat kaikki arvot # X # mille #F (x) # on määritelty.
Polynomilla jaettuna polynomilla ilmaistujen funktioiden osalta funktio määritellään kaikille arvoille # X # jossa jakajan polynomi ei ole nolla. Siitä asti kun # X ^ 2> = 0 # kaikkien arvojen osalta # X #, # X ^ 2 + 4> 0 # kaikkien arvojen osalta # X #; tuo on # ×! = 0 # kaikkien arvojen osalta # X #; toiminto on määritetty kaikille Realille (# RR #) arvot # X #.
alue
alue on hieman kiinnostavampaa kehittää.
Huomaa, että jos jatkuvalla funktiolla on raja-arvoja, funktion johdannainen näissä rajoissa olevissa pisteissä on nolla.
Vaikka jotkin näistä vaiheista saattavat olla vähäisiä, työskentelemme tämän prosessin kautta melko perusperiaatteista johdannaisille.
1 Johdannaisten eksponentti-sääntö
Jos #f (x) = x ^ n # sitten # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #
2 Johdannaisten summa-sääntö
Jos #f (x) = r (x) + s (x) # sitten # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #
3 Johdannaisten tuotesääntö
Jos #f (x) = g (x) * h (x) # sitten # (df (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #
4 Johdannaisten ketjun säännöt
Jos #f (x) = p (q (x)) # sitten # (df (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Tietyn toiminnon osalta #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
panemme merkille, että tämä voidaan kirjoittaa kuin #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #
Tiedämme
#color (valkoinen) ("XXX") väri (punainen) ((df (x)) / (dx) = väri (kalkki) ((d (x + 3)) / (dx) * väri (sininen) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + väri (sininen) ((x + 3)) * väri (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #
Meillä on 1
#color (valkoinen) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #
ja 2
#COLOR (valkoinen) ("XXX") väri (kalkki) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = väri (lime) (1) #
Meillä on 4
#color (valkoinen) ("XXX") väri (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #
ja 1 ja 2
#color (valkoinen) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #
tai yksinkertaistettu:
#COLOR (valkoinen) ("XXXXXXXX") = väri (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #
antaa meille
#color (valkoinen) ("XXX") väri (punainen) ((df (x)) / (dx) = väri (vihreä) 1 * väri (sininen) ((x + 4) ^ (- 1)) + väri (sininen) ((x + 3)) * väri (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #
joka voidaan yksinkertaistaa
#color (valkoinen) ("XXX") väri (punainen) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #
Kuten on todettu (takaisin), tämä tarkoittaa, että raja-arvot tapahtuvat, kun
#COLOR (valkoinen) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #
#color (valkoinen) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #
sitten käyttämällä kvadraattista kaavaa (katso tämä, Socratus valittaa jo tämän vastauksen pituudesta)
kun
#COLOR (valkoinen) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #
Sen sijaan, että pidentäisit tuskaa, liitämme nämä arvot laskimeen (tai laskentataulukkoon, niin miten teen sen) saamaan rajoitukset:
#COLOR (valkoinen) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0,075693909 #
ja
#COLOR (valkoinen) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ +0,825693909 #
Vastaus:
Yksinkertainen tapa löytää alue. Verkkotunnus on #x RR: ssä. Alue on #y kohdassa -0.076, 0.826 #
Selitys:
Verkkotunnus on #x RR: ssä kuten
#AA x RR: ssä, nimittäjä # X ^ 2 + 4> 0 #
Päästää # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
Risti lisääntyy
#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #
# Yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #
Tämä on neliön yhtälö # X #
On olemassa ratkaisuja, jos syrjivä on #Delta> = 0 #
#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #
Siksi, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #
#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #
Tämän eriarvoisuuden ratkaisut ovat
# y vuonna (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #
#y (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #
#y kohdassa -0.076, 0.826 #
kaavio {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}
