Mikä on y = x ^ 2-x + 9-2 (x-3) ^ 2 kärki?

Vastaus:

#(11/2, 85/4)#

Selitys:

Yksinkertaista # Y = ax ^ 2 + bx + c # muodossa.

# Y = x ^ 2-x + 9-2 (x-3) ^ 2 #

Laajenna FOIL # -2 (x-3) ^ 2 #

# Y = x ^ 2-x + 9-2 (x ^ 2-6x + 9) #

# Y = x ^ 2-x + 9-2X ^ 2 + 12x-18 #

Yhdistä vastaavat ehdot

# Y = -x ^ 2 + 11x-9 #

Nyt kun olemme muuttaneet yhtälön # Y = ax ^ 2 + bx + c # muodossa,

Käännä ne # Y = a (x-p) ^ 2 + q # muodossa, joka antaa pisteelle # (p, q) #.

#y = - (x ^ 2-11x +?) - 9 +? #

Täydellinen neliö # (X-p) ^ 2 #, Meidän on selvitettävä, mitä #?# on.

Tiedämme kaavan, milloin # X ^ 2-ax + b # on täydellinen neliö # (X-a / 2) ^ 2 #, saamme suhdetta # A # ja # B #.

#b = (- a / 2) ^ 2 #

Niin # B # tulee #?# ja # A # tulee #-11#.

Korvaa nämä arvot ja löytää #?#.

#?=(-11/2)^2#

#?=(-11)^2/(2)^2#

# ?=121/4#

korvike #?=121/4# että #y = - (x ^ 2-11x +?) - 9 +? #

#y = - (x ^ 2-11x + 121/4) -9 + 121/4 #

#y = - (x-11/2) ^ 2-36 / 4 + 121/4 #

#y = - (x-11/2) ^ 2 + 85/4 #

# y = - (x-11/2) ^ 2 + 85/4 #

Siksi olemme kääntäneet yhtälön # Y = a (x-p) ^ 2 + q # muodossa, joka antaa huippumme # (p, q) #

# p = 11/2, q = 85/4 #

# Vertex (11/2, 85/4) #

Vastaus:

#(5.5, 21.25)#

Selitys:

Tämä yhtälö näyttää pelottavalta, mikä vaikeuttaa työskentelyä. Joten, mitä me aiomme tehdä, on yksinkertaistaa sitä niin pitkälle kuin pystymme ja sitten käytämme pienen osan kvadratiivisesta kaavasta löytääksesi # X #vertex -arvo ja kytke se sitten yhtälöön päästäksesi ulos # Y #-arvo.

Aloitetaan yksinkertaistamalla tätä yhtälöä:

Lopussa on tämä osa: # -2 (x-3) ^ 2 #

Mitä voimme vaikuttaa # -2 (x ^ 2-6x + 9) # (Muista, että se ei ole vain # -2 (x ^ 2 + 9) #)

Kun jaamme sen #-2#, vihdoin ulos # -2x ^ 2 + 12x-18 #.

Laita se takaisin alkuperäiseen yhtälöön ja saamme:

# X ^ 2-x + 9-2X ^ 2 + 12x-18 #, joka näyttää vielä hieman pelottavalta.

Voimme kuitenkin yksinkertaistaa sen hyvin tunnistettavaksi:

# -X ^ 2 + 11x-9 # tulee yhteen, kun yhdistämme kaikki vastaavat ehdot.

Nyt tulee viileä osa:

Pieni pala neliökaavasta, jota kutsutaan kärkiyhtälöksi, voi kertoa meille huippun x-arvon. Tuo pala on # (- b) / (2a) #, missä # B # ja # A # tulevat standardin neliömuodosta #f (x) = ax ^ 2 + bx + c #.

Meidän # A # ja # B # ehdot ovat #-1# ja #11#, vastaavasti.

Tulemme ulos #(-(11))/(2(-1))#, joka tulee alas

#(-11)/(-2)#, tai #5.5#.

Tietäen #5.5# kuin meidän kärki # X #-arvo, voimme liittää sen yhtälöksi saadaksemme vastaavan # Y #-arvo:

#y = - (5,5) ^ 2 + 11 (5,5) -9 #

Joka menee:

# Y = -30,25 + +60,5-9 #

Joka menee:

# Y = 21,25 #

Yhdistä se # X #-arvo, jonka olemme juuri liittäneet, ja saat lopullisen vastauksen:

#(5.5,21.25)#

Vastaus:

kärki #(11/2, 85/4)#

Selitys:

Annettu -

# Y = x ^ 2-x + 9-2 (x-3) ^ 2 #

# Y = x ^ 2-x + 9-2 (x ^ 2-6x + 9) #

# Y = x ^ 2-x + 9-2X ^ 2 + 12x-18 #

# Y = -x ^ 2 + 11x-9 #

kärki

#x = (- b) / (2a) = (- 11) / (2 xx (-1)) = 11/2 #

#y = - (11/2) ^ 2 + 11 ((11) / 2) -9 #

# Y = -121/4 + 121 / 2-9 = (- 121 + 242-36) / 4 = 85/4 #

kärki #(11/2, 85/4)#