Mikä on hiukkasen nopeus t = 0: sta t = 10: een, jonka kiihtyvyys on veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Vastaus:

Keskimääräinen nopeus: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"neiti"#

Nopeus ajoissa #t = 0 # # "S" #: #0# #"neiti"#

Nopeus on #t = 10 # # "S" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"neiti"#

Selitys:

Oletan, että tarkoitat keskimääräinen nopeus alkaen #t = 0 # että #t = 10 # # "S" #.

Annamme hiukkasen kiihtyvyyden komponentit ja pyydetään löytämään keskimääräinen nopeus ensimmäisenä #10# sekuntia sen liikkeestä:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

missä

• #v_ "av" # on keskimääräisen nopeuden suuruus ja

• # Deltar # on kohteen sijainnin muutos (alkaen #0# # "S" # että #10# # "S" #).

Siksi meidän on löydettävä kohteen sijainti kahdella kertaa.

Tästä kiihtyvyysyhtälöstä on johdettava asemayhtälö integroimalla se kaksi kertaa:

Ensimmäinen integrointi:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (nopeus)

Toinen integraatio:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (Kanta)

Alkuasennon oletetaan olevan alkupäässä, joten liitä se #10# varten # T # sijainnin yhtälössä:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Sitten voimme jakaa keskimääräisen nopeusyhtälön osiin:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = väri (punainen) (250 # #COLOR (punainen) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = väri (sininen) (250/3 # #COLOR (sininen) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = väri (vihreä) (- 6000 # #COLOR (vihreä) ("m / s" #

Näiden komponenttien avulla voimme löytää keskimääräisen nopeusvektorin suuruuden:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = väri (violetti) (6.01 xx 10 ^ 3 # #COLOR (violetti) ("m / s" #

(Tässä on välitön nopeusosa).

Etsi hetkelliset nopeudet kohdassa #t = 0 # ja #t = 10 # # "S" #, sytytetään ensin nämä ajat aiemmin integroidulle nopeusyhtälölle:

• #t = 0 # # "S" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s) ^ 4 + 400 (0" s)) hatk #

# = väri (punainen) (0 # #COLOR (punainen) ("m / s" #

• #t = 10 # # "S" #

#vecv = ((10 "s)) 3) hati + (5/2 (10" s ") ^ 2) hatj - (2 (10" s) ^ 4 + 400 (10 "s)) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Tämän nopeuden suuruus on siis

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = väri (sininen) (2,40 xx 10 ^ 4 # #COLOR (sininen) ("m / s" #