Miten löydät [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)]: n raja, kun x lähestyy 0?

Vastaus:

Suorita jonkin verran konjugoitua kertolaskua ja yksinkertaista saada #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Selitys:

Suora korvaaminen tuottaa määrittelemätöntä muotoa #0/0#, joten meidän täytyy kokeilla jotain muuta.

Yritä kertoa # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # mennessä # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Tämä tekniikka tunnetaan nimellä konjugoitu kertolasku, ja se toimii lähes joka kerta. Ajatuksena on käyttää neliön ominaisuuden eroa # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # yksinkertaistaa joko laskijaa tai nimittäjää (tässä tapauksessa nimittäjää).

Muista tuo # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, tai # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Siksi voimme korvata nimittäjän, joka on # 1-cos ^ 2x #, kanssa # Sin ^ 2 x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2 x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Nyt # Sin ^ 2 x # peruuttaa:

# ((Sinx) (peruuta (sin ^ 2 x)) (1 + cosx)) / (peruuta (sin ^ 2 x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Viimeistele valitsemalla tämän lausekkeen raja:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#