Miten löydät (e ^ x) / (1 + e ^ (2x)) antiversion?

Vastaus:

#arctan (e ^ x) + C #

Selitys:

# "kirjoittaa" e ^ x "dx kuin" d (e ^ x) ", niin saamme" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "korvaamalla y =" e ^ x ", saamme" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# ", joka on yhtä suuri kuin" #

#arctan (y) + C #

# "Nyt korvaa takaisin" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Vastaus:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Selitys:

Haluamme löytää # Inte ^ x / (1 + e ^ (2 x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Anna nyt # U = e ^ x # ja niin, että ero on molemmilla puolilla # Du = e ^ xdx #. Nyt korvaamme molemmat yhtälöt integraaliksi saada

# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Tämä on vakiointegraali, joka arvioi # Arctanu #. Korvaaminen takaisin # X # saamme lopullisen vastauksen:

#arctan e ^ x + "c" #

Vastaus:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) x = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Selitys:

Ensinnäkin annamme # U = 1 + e ^ (2x) #. Integroida suhteessa # U #, jaamme sen johdannaisen # U #, mikä on # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) t

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)

Integroida suhteessa # U #, tarvitsemme kaiken ilmaistuna # U #, joten meidän on ratkaistava # E ^ x # on mitattuna # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2 x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Nyt voimme liittää tämän takaisin integraaliin:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

Seuraavaksi esitellään korvaaminen # Z = sqrt (u-1) #. Johdannainen on:

# (DZ) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

jaamme sen siten, että se integroituu # Z # (muista, että jakaminen on sama kuin vastavuoroisen kerrotaan):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1)

# = 2 / 2int 1 / u

Nyt meillä on jälleen väärä muuttuja, joten meidän on ratkaistava # U # on yhtä suuri kuin # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = Z ^ 2 #

# U = Z ^ 2 + 1 #

Tämä antaa:

#int 1 / u u = int 1 / (1 + z ^ 2)

Tämä on yleinen johdannainen # Tan ^ -1 (z) #, joten saamme:

#int 1 / (1 + z ^ 2) ja = tan ^ -1 (z) + C #

Kaikkien korvausten peruuttaminen:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2 x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2 x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #