Mitä 2. johdannaistesti kertoo f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 käyttäytymisestä näissä kriittisissä numeroissa?

Vastaus:

Toinen johdannaistesti tarkoittaa, että kriittinen numero (piste) # X = 4/7 # antaa paikalliselle minimille # F # sillä aikaa sanoen mitään noin # F # kriittisissä numeroissa (pisteet) # X = 0,1 #.

Selitys:

Jos #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, sitten tuotesääntö sanoo

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Aseta tämä nollaan ja ratkaistaan # X # merkitsee sitä # F # on kriittisiä numeroita (pisteitä) osoitteessa # X = 0,4 / 7,1 #.

Tuotesääntöjen käyttö taas antaa:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Nyt #f '' (0) = 0 #, #f '(1) = 0 #, ja #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Toisen johdannaistutkimuksen mukaan kriittinen luku (piste) # X = 4/7 # antaa paikalliselle minimille # F # sillä aikaa sanoen mitään noin # F # kriittisissä numeroissa (pisteet) # X = 0,1 #.

Todellisuudessa kriittinen numero (kohta) # X = 0 # antaa paikalliselle maksimille # F # (ja ensimmäinen johdannaistesti on riittävän vahva, jotta tämä voisi ilmetä, vaikka toinen johdannaistesti ei antanut tietoja) ja kriittinen numero (kohta) # X = 1 # ei anna paikallista max- eikä min-arvoa # F #, mutta (yksiulotteinen) "satulapiste".