Aloitetaan toiminnasta ilman # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Tämä toiminto on varmasti # X = 0 #, koska olemme ottaneet huomioon # X #.
Muut juuret ovat ratkaisuja # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, mutta tällä parabolalla ei ole juuria. Tämä tarkoittaa sitä, että alkuperäisessä polynomissa on vain yksi juuri.
Nyt polynomi #p (x) # pariton aste on aina vähintään yksi ratkaisu, koska sinulla on
#lim_ {x to infty} p (x) = - infty # ja #lim_ {x on infty} p (x) = infty #
ja #p (x) # on jatkuva, joten sen on ylitettävä # X # akselilla.
Vastaus saadaan seuraavista kahdesta tuloksesta:
- Polynomi aste # N # on täsmälleen # N # monimutkaiset juuret, mutta enintään # N # todelliset juuret
- Koska kuvaaja on #F (x) #, kuvaaja #f (x) + k # jolla on sama muoto, mutta se on vertikaalisesti käännetty (ylöspäin, jos #K> 0 #, alaspäin muuten).
Joten alamme # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, jossa on vain yksi todellinen juuret (ja siten kaksi monimutkaista juuria) ja me muutamme sen # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, mikä tarkoittaa sitä, että käännetään se ylös tai alas, joten emme muuta ratkaisujen määrää.
Joitain esimerkkejä:
Alkuperäinen toiminto: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
kaavio {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Käännä ylös: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
kaavio {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Käännä alas: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
kaavio {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Kuten näette, on aina yksi juuri
Vastaus:
Katso alempaa
Selitys:
Vaihtoehtoinen, ehkä tyylikäs ratkaisu:
polynomin johdannainen on # 3x ^ 2-4x + 2 #, joka on parabola kovera ilman juuret, ja siten aina positiivinen. Niin, # F # on:
- Monotonisesti kasvaa
- #lim_ {x on pm infty} f (x) = pm infty #
- # "C" (f) = 3 #
Kaksi ensimmäistä pistettä osoittavat, että # F # sillä on täsmälleen yksi juuri, ja kolmas, että kaksi muuta juuria ovat monimutkaisia.
