Mitkä ovat f (x, y) = xy (1-x-y) ääriarvot ja satulapisteet?

Vastaus:

Pisteet #(0,0),(1,0)#, ja #(0,1)# ovat satulapisteitä. Kohta #(1/3,1/3)# on paikallinen enimmäispiste.

Selitys:

Voimme laajentaa # F # että #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Etsi sitten osittaiset johdannaiset ja aseta ne nollaan.

# fr {osittainen f} {osittainen x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# fr {osittain f} {osittainen y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Selvästi, # (X, y) = (0,0), (1,0), # ja #(0,1)# ovat ratkaisuja tähän järjestelmään, joten ne ovat kriittisiä kohtia # F #. Toinen ratkaisu löytyy järjestelmästä # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Ensimmäisen yhtälön ratkaiseminen # Y # kannalta # X # antaa # Y = 1-2x #, joka voidaan kytkeä toiseen yhtälöön # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Tästä, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # yhtä hyvin.

Jos haluat testata näiden kriittisten kohtien luonnetta, löydämme toisen johdannaisen:

# {{{{{}} {2} {2} {2}, # {{{{} {2} f} {osittainen y ^ {2}} = - 2x #, ja # {{{{} {2} f} {osittainen y} = fr {osittainen ^ {2} f} {osittainen y osittainen x} = 1-2x-2y #.

Syrjivä on siis:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4v-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Kolmen ensimmäisen kriittisen pisteen yhdistäminen:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, ja #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, mikä tekee näistä pisteistä satulapisteet.

Viimeisen kriittisen pisteen kytkentä antaa #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Huomaa myös, että # {{{{}} {2} {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Siksi, #(1/3,1/3)# on paikallinen enimmäisarvo # F #. Voit tarkistaa, että itse paikallinen enimmäisarvo on #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Alla on kuva kontuurikartasta (tasokäyristä) # F # (käyrät, joissa # F # on vakio) yhdessä 4 kriittisen pisteen kanssa # F #.