Nopeusfunktio on v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 hiukkaselle, joka liikkuu viivaa pitkin. Mikä on partikkelin siirtymä (nettoetäisyys) ajanjakson [-3,6] aikana?

Vastaus:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Selitys:

Nopeuskäyrän alapuolella oleva alue vastaa katettua etäisyyttä.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (valkoinen) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (sininen) ((- 3)) ^ väri (punainen) (6) #

# = (väri (punainen) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (väri (sininen) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Vastaus:

Alkuperäinen kysymys on hieman hämmentävä, koska se tarkoittaa, että siirtyminen ja etäisyys on sama asia, jota se ei ole.

Olen perustanut tarvittavat integraatiot jokaiselle tässä tapauksessa.

Selitys:

Kokonaismatka (skalaarimäärä, joka edustaa todellista polun pituutta) annetaan osittaisten integraalien summan avulla

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Kokonaissiirtymä (vektorin määrä, joka edustaa suoraa linjaa, joka on otettu alusta liikkeelle) on annettu suuruudeltaan seuraavalla integraalilla

# | Vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Nopeusfunktion kuvaaja ajallisesti tekee selväksi, miksi nämä integraalit on asetettava vektorisääntöjen noudattamiseksi ja määritelmien täyttämiseksi.

kaavio {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}