Mikä on yhtälö f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2: n tangenttilinjasta x = 5?

Tangenttilinjan yhtälö on muotoa:

# Y = väri (oranssi) (a) x + väri (violetti) (b) #

missä # A # on tämän suoran kaltevuus.

Jos haluat löytää tämän tangentin viivan kaltevuuden #F (x) # kohdassa # X = 5 # meidän pitäisi erottaa toisistaan #F (x) #

#F (x) # on muodon osamäärätoiminto # (U (x)) / (V (x)) #

missä #u (x) = x-3 # ja #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#COLOR (sininen) (f (x) = (u '(x) v (x) v' (x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#COLOR (punainen) (u '(x) = 1) #

#V (x) # on yhdistelmätoiminto, joten meidän on sovellettava ketjun sääntöä

päästää #G (x) = x ^ 2 # ja #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#COLOR (punainen) (v '(x) = g' (h (x)) * h (x)) #

#G '(x) = 2x # sitten

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#COLOR (punainen) (v '(x) = g' (h (x)) * h (x)) #

#COLOR (punainen) (v '(x) = 2 (x-4) #

#COLOR (sininen) (f (x) = (u '(x) v (x) v' (x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

yksinkertaistaa yhteistä tekijää # X-4 # lukijan ja nimittäjän välillä

#COLOR (sininen) (f (x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Koska tangenttilinja kulkee pisteen läpi # X = 5 # joten voimme löytää rinteen arvon # A # korvaamalla # X = 5 # sisään # f '(x) #

#COLOR (oranssi) (a = f '(5)) #

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (oranssi) (a = -3) #

Ottaen huomioon tangenssin pisteen #COLOR (ruskea) (x = 5) # Katsotaanpa

löytää sen ordinaatin # Y = f (5) #

#COLOR (ruskea) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#COLOR (ruskea) (y = 2) #

Tangenssipisteen koordinaatit #COLOR (ruskea) ((5, 2)) # ja rinne #COLOR (oranssi) (a = -3) # etsitään #COLOR (violetti) (b) #

avulla voidaan korvata kaikki tunnetut arvot tangenttilinjan yhtälössä, jotta voit löytää arvon #COLOR (violetti) (b) #

#COLOR (ruskea) (y) = väri (oranssi) (a) väri (ruskea) (x) + väri (violetti) (b) #

# 2 = -3 (5) + väri (violetti) (b) #

# 2 = -15 + väri (violetti (b) #

# 17 = väri (violetti) (b) #

siis tangenttilinjan yhtälö kohdassa #COLOR (ruskea) ((5, 2)) # on:

# Y = 3x + 17 #