Mitkä ovat f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x äärimmäiset ja satulapisteet?

Vastaus:

Satulapiste alkuperästä.

Selitys:

Meillä on:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Ja näin johdamme osittaiset johdannaiset. Muista, että erottelette osittain, että erottelemme kyseistä muuttujaa samalla kun käsittelemme muita muuttujia vakioina. Ja niin:

# (osittainen f) / (osittainen x) = 2xy-y ^ 2 t ja # (osittainen f) / (osittainen y) = x ^ 2-2x #

Extreme- tai satulapisteissä meillä on:

# (osittainen f) / (osittainen x) = 0 t ja # (osittainen f) / (osittainen y) = 0 t samanaikaisesti:

toisin sanoen:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Näin ollen alkuperässä on vain yksi kriittinen piste #(0,0)#. Kriittisen pisteen luonteen määrittämiseksi vaaditaan monimuuttujan Taylor-sarjan analyytikot ja seuraavat testitulokset:

# Delta = (osittainen ^ 2 f) / (osittainen x ^ 2) (osittainen ^ 2 f) / (osittainen y ^ 2) - {(osittainen ^ 2 f) / (osittainen x osittainen y)} ^ 2 <0 => # satulapiste

Joten laskemme toisen osittaisen johdannaisen:

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2) = 2y t;# (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2) = -2x t ja # (osittainen ^ 2 f) / (osittainen x osittainen y) = 2x-2y #

Ja niin milloin # x = 0, y = 0 # saamme:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Se tarkoittaa, että standardi satulatesti on kattava ja tarvitaan lisäanalyysiä. (Tämä merkitsisi tyypillisesti funktion merkkien tarkastelua eri viipaleissa tai kolmannen osittaisen johdannaistestin tarkastelua, joka on tämän kysymyksen ulkopuolella!).

Voimme myös tarkastella kolmiulotteista kaaviota ja tehdä nopeasti johtopäätöksen siitä, että kriittinen kohta näyttää olevan satulapisteen mukainen: