Mikä on neliöjuuri 90?

Vastaus:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Selitys:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # on irrationaalinen numero jonnekin #sqrt (81) = 9 # ja #sqrt (100) = 10 #.

Itse asiassa #90 = 9 * 10# on muotoa #n (n + 1) # sillä on säännöllinen jatkuva lomakkeen laajennus # N, bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+))…)))))) #

Yksi hauska tapa löytää rationaalisia arviointeja on lineaarisen toistumisen määrittelemä kokonaislukujakso.

Harkitse neliöyhtälöä nollilla # 19 + 2sqrt (90) # ja # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (valkoinen) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (valkoinen) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (valkoinen) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Niin:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Käytä tätä saadaksesi jakson:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Tämän sarjan ensimmäiset ehdot ovat seuraavat:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Peräkkäisten termien suhde on taipumus # 19 + 2sqrt (90) #

Siten:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~ ~ 9.48683298051 #