Mikä on Hilbert-tila? + Esimerkki

Hilbert-tila on joukko elementtejä, joilla on tiettyjä ominaisuuksia:

se on vektoriavaruus (niin, että sen elementteille on tyypillisiä vektoreille tyypillisiä toimintoja, kuten kertominen reaaliluvulla ja lisäys, joka täyttää kommutatiiviset ja assosiatiiviset lait);

on olemassa skalaarinen (joskus sisempi tai piste) tuote kahden elementin välillä, joka johtaa reaalilukuun.

Esimerkiksi kolmiulotteinen euklidinen tila on esimerkki Hilbert-tilasta, jossa on skalaarinen tuote # X = (x_1, x_2, x_3) # ja # Y = (y_1, y_2, y_3) # yhtä kuin # (X, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Mielenkiintoisempi esimerkki on segmentin kaikkien jatkuvien toimintojen tila # A, b # jossa on skalaarituote, joka on määritelty

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

Kvantfysiikassa Hilbert-avaruudella on erittäin tärkeä rooli järjestelmän tilana kuvaavana funktiona # Psi # on osa Hilbert-tilaa.

Voin suositella

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

Hilbert-tilan käyttöönotto kvanttifysiikassa.