Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Vastaus:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Selitys:

me etsimme:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Kun arvioimme rajaa, tarkastelemme funktion "lähellä" käyttäytymistä, ei välttämättä funktion "kyseisessä kohdassa" käyttäytymistä, siis #x rarr 0 #Emme saa missään vaiheessa pohtia, mitä tapahtuu # X = 0 #, Näin saamme triviaalisen tuloksen:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Selkeyden vuoksi funktio, jolla visuaalinen käyttäytyminen näkyy # X = 0 #

kaavio {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

On tehtävä selväksi, että toiminto # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # on määrittelemätön # X = 0 #

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

Käytetyn funktion raja-arvon määritelmät vastaavat:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # jos ja vain Jokaista positiivista # Epsilon #, on positiivinen #delta# niin, että jokaiselle # X #, jos # 0 <abs (x-a) <delta # sitten #abs (f (x) - L) <epsilon #

Koska "#abs (f (x) - L) <epsilon #"Tämä edellyttää, että kaikki # X # kanssa # 0 <abs (x-a) <delta #, #F (x) # on määritelty.

Toisin sanoen vaaditaan #delta#, kaikki # (A-delta, a + delta) # paitsi mahdollisesti # A #, sijaitsee verkkotunnuksessa # F #.

Kaikki tämä saa meidät:

#lim_ (xrarra) f (x) # olemassa vain, jos # F # on määritelty jossain avoimessa aikavälissä, joka sisältää # A #, paitsi ehkä # A #.

(# F # on määritettävä joissakin poistetuissa avoimissa lähialueissa # A #)

Siksi, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # ei ole olemassa.

Lähes triviaali esimerkki

#f (x) = 1 # varten # X # irrationaalinen todellinen (määrittelemätön rationaaleille)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ei ole olemassa.