Miten cos (pi / 5) arvioidaan ilman laskinta?

Vastaus:

Cos (# Pi # / 5) = cos 36 ° = (# Sqrt #5 + 1)/4.

Selitys:

Jos # Theta # = # Pi #/ 10, sitten 5# Theta # = # Pi #/2 #=># CoS3# Theta # = sin2# Theta #. cos (# Pi # /2 - # Alpha #) = synti# Alpha #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # Theta # - 3cos# Theta # = 2sin# Theta #cos# Theta ##=># 4 # Cos ^ 2 ## Theta # - 3 = 2 syntiä # Theta #.

#=># 4 (1 - # Sin ^ 2 # # Theta #) - 3 = 2 syntiä# Theta #. #=># 4# Sin ^ 2 # # Theta #+ 2sin# Theta # - 1 = 0#=>#

synti# Theta # =(# Sqrt # 5 - 1) /4.

Nyt cos 2# Theta # = cos # Pi #/5 = 1 - 2# Sin ^ 2 # # Theta #, antaa tuloksen.

Vastaus:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Selitys:

Päästää #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Täten #cos (4 * pi / 5) = -a #. Kaksinkertaisen kulman kaavoista:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

vähentämällä, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + b # ei ole nolla, koska molemmat termit ovat positiivisia # A-b # täytyy olla #1/2#. Sitten

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

ja ainoa positiivinen juuri on

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Ja #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.