Osoita, että yhtälöllä px ^ 2 + qx + r = 0 ja qx ^ 2 + rx + p = 0 on yhteinen juuri, jos p + q + r = 0 tai p = q = r?

Vastaus:

Katso selitys …

Jos # P = q = r # sitten:

# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #

Joten kaikki nollat, joita heillä on, ovat yhteisiä.

Huomaa, että näitä ehtoja ei tarvita.

Jos esimerkiksi # P = 0 #, #q! = 0 # ja #r! = 0 # sitten:

# Px ^ 2 + qx + r = 0 # on juuri # X = -r / q #

# Qx ^ 2 + rx + p = 0 # on juuret # X = -r / q # ja # X = 0 #

Niinpä kahdella yhtälöllä on yhteinen juuri, mutta #p! = q # ja emme vaadi # P + q + r = 0 #.

Katso alla.

Kuten # Px ^ 2 + qx + r = 0 # ja # Qx ^ 2 + rx + p = 0 # sinulla on yhteinen juuri, anna tämän juuren olla # Alpha #. Sitten

# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # ja # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #

ja siten # Alfa ^ 2 / (PQ-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

ja # Alfa = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # ja # Alfa ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

toisin sanoen # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

tai # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #

tai # Q ^ 2h ^ 2 + s ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #

tai # P ^ 4 + pq ^ 3 + per ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # ja jakamalla # P #

tai # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #

toisin sanoen # (P + q + r) (s ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #

Näin ollen myös # P + q + r = 0 # tai # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #

Huomaa, että # Alfa ^ 2 / (PQ-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

# Alfa ^ 2 / (PQ-r ^ 2) = a / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #

ja jos # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, meillä on # Alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # toisin sanoen # P = q = r #