Mitä (3 + i) ^ (1/3) vastaa + bi-muodossa?

Vastaus:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Selitys:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alpha)) # missä #alpha = arctan (1/3) #

Niin

#root (3) (3 + i) = juuri (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = juuri (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = juuri (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + juuri (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Siitä asti kun # 3 + i # on Q1: ssä, tämä pääkuutiojuuri # 3 + i # on myös Q1.

Kaksi muuta kuutio juuret # 3 + i # ovat ekspressoitavissa käyttäen yhtenäistä kompleksista kuutiojuurta #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (juuri (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + juuri (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = juuri (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + juuri (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (juuri (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + juuri (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = juuri (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + juuri (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #