Mikä on int (cos (x)) ^ 4 dx?

Vastaus:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Selitys:

Vaikka alun perin näyttäisi olevan todella ärsyttävä integraali, voimme todella hyödyntää trig-identiteettejä rikkomaan tämän integraalin alas useisiin yksinkertaisiin integraaleihin, joita tunnemme paremmin.

Käytettävä identiteetti on:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Näin voimme manipuloida yhtälöämme sellaisena:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Nyt voimme soveltaa sääntöämme uudelleen, jotta cos ^ 2 (2x) poistetaan suluissa:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4kg (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4kg (2x) + cos (4x)) dx #

Nyt meillä on oikeastaan melko yksinkertainen integraatio-ongelma, voimme jakaa integraalin sulkeutumiseen niin, että:

# = 1/8 int3dx + 4-kertainen (2x) dx + intcos (4x) dx #

Jokainen näistä trig-integraaleista käsitellään yksinkertaisella säännöllä #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Täten, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #