Miten trigonometrinen korvaaminen eroaa u-korvaamisesta?

Vastaus:

Yleensä liipaisua käytetään lomakkeen integraaleihin # X ^ 2 + -a ^ 2 # tai #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, sillä aikaa # U #-substituutiota käytetään, kun funktio ja sen johdannainen näkyvät integraalissa.

Selitys:

Mielestäni molemmat korvausmuodot ovat erittäin mielenkiintoisia niiden takana olevan päättelyn takia. Harkitse ensin trigerin korvaamista. Tämä johtuu Pythagorien teoreemasta ja Pythagorean identiteeteistä, luultavasti kahdesta tärkeimmistä trigonometria-käsitteistä. Käytämme tätä, kun meillä on jotain sellaista:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # missä # A # on vakio

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # uudelleen olettaen # A # on vakio

Näemme, että nämä kaksi näyttävät kauheasti # ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, mikä on Pythagorien lause. Se liittyy oikean kolmion kahteen puoleen kolmion hypotenuseen. Jos me vedämme tämän esiin, voimme nähdä, että kyllä, # X ^ 2 + a ^ 2 # voidaan esittää kolmion avulla:

Kuva on erittäin hyödyllinen, koska se kertoo meille # Tantheta = x / a #, tai # Atantheta = x #; tämä muodostaa perustan vaihtokorvaukselle. Lisäksi (ja tämä on, jos se saa mahtavan), kun vaihdat # X = tantheta # osaksi # X ^ 2 + a ^ 2 #, sinä päädyt Pythagoren identiteettiin, tässä tapauksessa # Tan ^ 2theta + 1 = s ^ 2theta #. Voit sitten tehdä joitakin yksinkertaistuksia # S ^ 2theta # jos tarvitset, ja integraali on helposti siellä. Sama koskee tapauksia # X ^ 2-a ^ 2 #, # ^ 2 x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, ja #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Voit käyttää trig sub. paljon ongelmia, mutta voit käyttää # U #-substituutio on todennäköisesti vielä enemmän. Käytämme tätä tekniikkaa, kun meillä on jotain # Intlnx / xdx #. Jos olemme tarkkaavaisia, näemme, että meillä on kaksi tehtävää - # Lnx # ja # 1 / x #. Ja jos me muistamme perussijoituksiamme, tiedämme # D / dxlnx = 1 / x # varten #X> 0 # (tai # D / dxlnabs (x) = 1 / x # varten # ×! = 0 #). Joten ajatus on sanoa antaa # U = lnx #; sitten # (Du) / dx = 1 / x # ja # Du = dx / x #. Näiden korvausten tekemisen jälkeen ongelma yksinkertaistuu # Intudu # - paljon helpompi integraali kuin aikaisemmin.

Vaikka nämä kaksi tekniikkaa voivat olla erilaisia, ne molemmat palvelevat samaa tarkoitusta: yksinkertaistaa yksinkertaisempaa muotoa, jotta voimme käyttää perustekniikoita. Olen varma, että selitykseni ei riitä sisällyttämään kaikkia näitä korvauksia koskevia yksityiskohtia, joten kehotan muita osallistumaan.