Osoita, että yhtälöllä x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu [0, 1]?

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Ensinnäkin lasketaan #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # verkkotunnuksen rajalla:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Jos laskemme johdannaisen

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Näemme, että se on aina positiivinen #0,1#. Itse asiassa, # X ^ 2 + 1 # on aina positiivinen, ja # 4x # on ilmeisesti myönteinen, koska # X # on positiivinen.

Toimintamme alkaa siis # X # sen jälkeen #F (0) <0 #, ja päättyy # X # sen jälkeen #F (1)> 0 #. Toiminto on polynomi, joten se on jatkuvaa.

Jos jatkuva viiva alkaa akselin alapuolella ja päättyy edellä, se tarkoittaa, että sen on pitänyt ylittää se jonnekin välissä. Ja se, että johdannainen on aina positiivinen, merkitsee sitä, että toiminto kasvaa aina, joten se ei voi ylittää akselia kahdesti, siis todiste.