Miten osoitat (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sek x + tan x) ^ 2?

Vastaus:

Käytä muutamia trig-identiteettejä ja yksinkertaista. Katso alempaa.

Selitys:

Mielestäni kysymyksessä on virhe, mutta se ei ole iso juttu. Jotta se olisi järkevää, kysymys on luettava:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Joko niin, aloitamme tällä ilmaisulla:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Todistettaessa trig-identiteettiä on yleensä parasta toimia puolella, jossa on murto-osa).

Käytetään siistiä temppua, jota kutsutaan konjugaattikertomukseksi, jossa kerrotaan fraktio nimittäjän avulla konjugaatti:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugaatti # A + b # on # A-b #, niin konjugaatti # 1 + sinx # on # 1-sinx #; kerrotaan # (1-sinx) / (1-sinx) # tasapainottaa fraktio.

Ota huomioon, että # (1 + sinx) (1-sinx) # on oikeastaan erotus neliöissä, jolla on omaisuus:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Tässä näemme sen # A = 1 # ja # B = sinx #, niin:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Pythagorien identiteetistä # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #Tästä seuraa (vähentämisen jälkeen # Sin ^ 2 x # molemmilta puolilta), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Vau, menimme # (1-sinx) / (1-sinx) # että # 1-sin ^ 2 x # että # Cos ^ 2 x #! Nyt ongelma näyttää:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Laajenna lukija:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Muistaa: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Nyt hajotamme jakeet:

# 1 / cos ^ 2X (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = S ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Miten yksinkertaistaa että ? No, muista, kun sanoin: "Muista: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Selvää, että # S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # on oikeastaan # (Secx-tanx) ^ 2 #. Jos annamme # A = secx # ja # B = tanx #, näemme, että tämä ilmaisu on:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Mikä, kuten juuri sanoin, vastaa # (A-b) ^ 2 #. Korvata # A # kanssa # Secx # ja # B # kanssa # Tanx # ja saat:

# S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Ja olemme suorittaneet proodin:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #