Mitkä ovat f (x) = xlnx-xe ^ x paikalliset ääriarvot?

Vastaus:

Tällä toiminnolla ei ole paikallista ääriarvoa.

Selitys:

#f (x) = xlnx-xe ^ x tarkoittaa #

#g (x) ekviv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

varten # X # olla paikallinen ekstremumi, #G (x) # on oltava nolla. Näytämme nyt, että tämä ei tapahdu millään todellisella arvolla # X #.

Ota huomioon, että

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Täten #G ^ '(x) # katoaa, jos

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Tämä on transsendenttinen yhtälö, joka voidaan ratkaista numeerisesti. Siitä asti kun #g ^ '(0) = + oo # ja #G ^ "(1) = 1-3e <0 #, juuret ovat välillä 0 ja 1. Ja sen jälkeen #g ^ {''} (0) <0 # kaikille positiivisia # X #, tämä on ainoa juuri ja se vastaa enimmäismäärää #G (x) #

Yhtälön ratkaiseminen numeerisesti on melko helppoa, ja tämä osoittaa sen #G (x) # on a maksimi at # X = 0,3152 # ja maksimiarvo on #g (0.3152) = -1.957 #. Koska suurin arvo on #G (x) # on negatiivinen, ei ole arvoa # X # jossa #G (x) # katoaa.

Saattaa olla hyödyllistä tarkastella tätä graafisesti:

kaavio {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Kuten edellä olevasta kaaviosta näet, toiminto #F (x) # oikeastaan on enintään # X = 0 # - mutta tämä ei ole paikallinen enimmäismäärä. Alla oleva kaavio osoittaa, että #g (x) equiv f ^ '(x) # ei koskaan ota arvoa nolla.

kaavio {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0,075}